Funzioni che non hanno primitiva
Una funzione $ f $ con una discontinuità di prima specie in un intervallo non può avere primitiva. Questo si deduce dalla "proprietà dei valori intermedi per le derivate" (se $f$ è continua e derivabile in un intervallo $(a,b)$, e se $ x_1$ e $x_2 in (a, b) $, allora la derivata $f'$ di $f$ assume tutti i valori compresi tra $ f'(x_1) $ e $ f'(x_2) $).
Come si svolge questa deduzione?
Suppongo per assurdo che $g$ sia una primitiva di $f$, cioè $g'(x) = f(x)$.
Sia $ (x_1, x_2)$ un intorno di un punto $x_0$ di discontinuità di prima specie.
Per la proprietà dei valori intermedi per le derivate, f(x) deve assumere tutti i valori compresi tra $ f(x_1) $ e $ f(x_2) $).
Da qui non riesco ad andare avanti: potete aiutarmi?
Dovrei tener conto della discontinuità e concludere con qualcosa come: "e quindi $f$ assume anche il valore ...., ma questo è assurdo"?
Come si svolge questa deduzione?
Suppongo per assurdo che $g$ sia una primitiva di $f$, cioè $g'(x) = f(x)$.
Sia $ (x_1, x_2)$ un intorno di un punto $x_0$ di discontinuità di prima specie.
Per la proprietà dei valori intermedi per le derivate, f(x) deve assumere tutti i valori compresi tra $ f(x_1) $ e $ f(x_2) $).
Da qui non riesco ad andare avanti: potete aiutarmi?
Dovrei tener conto della discontinuità e concludere con qualcosa come: "e quindi $f$ assume anche il valore ...., ma questo è assurdo"?
Risposte
Spero di non dire bestialità ma a me pare che anche le funzioni con discontinuità di prima specie possano avere primitive. Mi spiego con un esempio: supponendo che la derivata sia
$f'(x)= {(2x+1 \text( ) x>=0),(2x-1 \text( ) x<0):}$
una sua primitiva è
$f(x)={(x^2+x \text( ) x>=0),(x^2-x \text( ) x<0):}$
Certo, questa funzione non è derivabile in x=0 ma lo è a destra e questo basta per dire che è primitiva della funzione data.
$f'(x)= {(2x+1 \text( ) x>=0),(2x-1 \text( ) x<0):}$
una sua primitiva è
$f(x)={(x^2+x \text( ) x>=0),(x^2-x \text( ) x<0):}$
Certo, questa funzione non è derivabile in x=0 ma lo è a destra e questo basta per dire che è primitiva della funzione data.
Ciao Giammaria, credo che nel "controesempio" la discontinuità non sia di prima specie in 0 perché i limiti alla destra e alla sinistra coincidono...
Ho indicato con $f(x)$ la primitiva cercata (che è continua in zero, ma se la vuoi discontinua ti basta aggiungere una qualsiasi costante in una sua definizione) e con $f'(x)$ la funzione da integrare ed è discontinua.
Non l'avevo notato prima e non ne avevo mai sentito parlare, ma la "proprietà dei valori intermedi delle derivate", così come enunciata da te, è falsa o almeno molto mal detta. Supponi che $x_1, x_2$ siano due punti di stazionarietà (ad esempio, massimo e minimo relativi): allora, essendo $f'(x_1)=f'(x_2)=0$, se ne dedurrebbe che la derivata è nulla in tutti i punti intermedi.
"giammaria":
supponendo che la derivata sia
$f'(x)= {(2x+1 \text( ) x>=0),(2x-1 \text( ) x<0):}$
una sua primitiva è
$f(x)={(x^2+x \text( ) x>=0),(x^2-x \text( ) x<0):}$
Certo, questa funzione non è derivabile in x=0 ma lo è a destra e questo basta per dire che è primitiva della funzione data.
Scusa ma la [tex]f(x)[/tex] del tuo esempio (come giustamente rilevi) non è derivabile in [tex]x=0[/tex], ha un punto angoloso, per cui non è corretto dire che la [tex]f'(x)[/tex]che proponi sia la derivata della [tex]f(x)[/tex] definita due righe sotto, lo diventa se nel primo tratto della tua [tex]f'(x)[/tex] escludi [tex]x=0[/tex].
La tua funzione [tex]f(x)[/tex] sarebbe identica se la disuguaglianza larga fosse riferita al secondo intervallo, dovremmo concludere che in questo caso la derivata in [tex]x=0[/tex] dovrebbe essere uguale a [tex]-1[/tex] anzichè (essendo identica la primitiva) ad [tex]1[/tex] ?
Peraltro questa "proprietà dei valori intermedi delle derivate" non mi ricordo neanch'io di averla mai sentita, ma molto probabilmente è un mio difetto di memoria.
Del resto un controesempio più immediato è la funzione valore assoluto, [tex]y=\left | x \right |[/tex]: la sua derivata è la funzione [tex]y=\left\{\begin{matrix}
-1 , \mathrm{se}: x<0\\
+1 , \mathrm{se}: x>0
\end{matrix}\right.[/tex] , che in [tex]x=0[/tex] ha una discontinuità di prima specie ma ammette evidentemente primitiva.
Al di là del nome di questa proprietà, la riporto com'è sul libro (Pagani, Salsa, Analisi matematica I, p. 298), così non ci sono problemi di interpretazione:
"Siano $f:( a, b) -> R $, derivabile in (a, b) e $x_1$ e $x_2 in (a, b)$. Allora f' assume tutti i valori compresi tra $f'(x_1)$ e $f'(x_2)$".
Segue la dimostrazione ....
... e poi questa affermazione che non riesco a dimostrare:
"Se ne deduce ad esempio che una funzione con una o più discontinuità di prima specie in un intervallo non può avere
primitiva".
@Giammaria: a quanto ho capito io, se x1,x2 sono due punti di stazionarietà (ad esempio, massimo e minimo relativi): allora, essendo f′(x1)=f′(x2)=0, f' assume tutti i valori compresi tra zero e zero (cioè zero), ma non è detto che non ne possa assumere anche altri.
Spero di riuscire a seguire la discussione i prossimi giorni perché ho problemi con internet. A presto....
"Siano $f:( a, b) -> R $, derivabile in (a, b) e $x_1$ e $x_2 in (a, b)$. Allora f' assume tutti i valori compresi tra $f'(x_1)$ e $f'(x_2)$".
Segue la dimostrazione ....
... e poi questa affermazione che non riesco a dimostrare:
"Se ne deduce ad esempio che una funzione con una o più discontinuità di prima specie in un intervallo non può avere
primitiva".
@Giammaria: a quanto ho capito io, se x1,x2 sono due punti di stazionarietà (ad esempio, massimo e minimo relativi): allora, essendo f′(x1)=f′(x2)=0, f' assume tutti i valori compresi tra zero e zero (cioè zero), ma non è detto che non ne possa assumere anche altri.
Spero di riuscire a seguire la discussione i prossimi giorni perché ho problemi con internet. A presto....
"Palliit":
Del resto un controesempio più immediato è la funzione valore assoluto, [tex]y=\left | x \right |[/tex]: la sua derivata è la funzione [tex]y=\left\{\begin{matrix}
-1 , \mathrm{se}: x<0\\
+1 , \mathrm{se}: x>0
\end{matrix}\right.[/tex] , che in [tex]x=0[/tex] ha una discontinuità di prima specie ma ammette evidentemente primitiva.
Mi stai dando ragione, o volevi scrivere "non ammette"? Nel primo caso siamo entrambi di parere opposto al tuo libro e l'unica cosa che riesco a supporre è che quest'ultimo usi definizioni diverse dalle nostre.
CHIEDO UN PARERE AI MODERATORI O A QUALCHE ESPERTO, possibilmente esteso anche alla proprietà dei valori intermedi delle derivate.
Ad ulteriore conferma della mia opinione, aggiungo che secondo me le frasi "ammettere primitiva" e "essere integrabili" dicono la stessa cosa (bé, forse non è vero con qualche discontinuità di seconda specie, ma non è il nostro caso). Una funzione che abbia una discontinuità di prima specie in $c$ e per il resto sia continua in $(a,b)$ è integrabile in questo intervallo; infatti
$\int_a^b f(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^b f(x)dx$
"giammaria":
Mi stai dando ragione, o volevi scrivere "non ammette"?
No no, volevo proprio scrivere "ammette", cioè ti sto dando ragione, e il mio del valore assoluto era solo un ulteriore esempio del fatto che in quanto affermato da questo principio o almeno nel modo in cui viene enunciato manca qualcosa
@Pallit: nel caso $ y = |x| $ , la derivata y' =−1 per x < 0 e y' = 1 per x > 0 non dovrebbe assumere tutti i valori compresi tra -1 e 1, quindi anche, per esempio, 1/2? Ma gli unici valori che assume sono 1 e -1...
In ogni caso resta il problema di generalizzare.
Mentre aspettiamo soccorsi, oppure se a voi viene un'idea, rileggo il libro per vedere se per caso non ho saltato qualche premessa importante...
In ogni caso resta il problema di generalizzare.
Mentre aspettiamo soccorsi, oppure se a voi viene un'idea, rileggo il libro per vedere se per caso non ho saltato qualche premessa importante...
Il teorema parla di una funzione derivabile e la tua non lo è nell'origine. La domanda è "Una funzione derivabile ovunque ha sempre derivata continua?"; mi pare che fosse stata fatta tempo fa (forse verso la metà del 2011) in questo forum, ma ora non ho il tempo di controllare. Se la risposta fosse sì il teorema sarebbe ovvio, ma aveva avuto una risposta negativa con un controesempio che non ricordo perché abbastanza complesso.
Proprio quello. Peccato per due cose:
1) nel controesempio la discontinuità della derivata non è di prima specie;
2) non ho potuto consultarlo bene perché poco dopo la sua apertura il mio computer è diventato insensibile ad ogni comando (compreso il control-alt-canc) e l'unico modo di uscirne è stato il brutale spegnimento dell'interruttore. Non ho osato ritentare.
1) nel controesempio la discontinuità della derivata non è di prima specie;
2) non ho potuto consultarlo bene perché poco dopo la sua apertura il mio computer è diventato insensibile ad ogni comando (compreso il control-alt-canc) e l'unico modo di uscirne è stato il brutale spegnimento dell'interruttore. Non ho osato ritentare.
Infatti, direi che è di seconda. Creare un esempio analogo ma con una prima specie la vedo grigia...
"Palliit":
Scusa ma la [tex]f(x)[/tex] del tuo esempio (come giustamente rilevi) non è derivabile in [tex]x=0[/tex], ha un punto angoloso, per cui non è corretto dire che la [tex]f'(x)[/tex]che proponi sia la derivata della [tex]f(x)[/tex] definita due righe sotto, lo diventa se nel primo tratto della tua [tex]f'(x)[/tex] escludi [tex]x=0[/tex].
Infatti... se fosse una questione di definizione (di primitiva)?
Supponiamo che $g(x)$ sia una funzione con discontinuità di seconda specie in $x_0$. Se avesse primitiva $f'(x)$ in $x_0$ dovrei scrivere:
$ a = lim_(x -> x_0^+) g(x) = lim_(x -> x_0^+) f'(x) = lim_(x -> x_0^+)[lim_(x -> x_0^+) (f(x)-f(x_0)) / (x - x_0)] $
$ b = lim_(x -> x_0^-) g(x) =lim_(x -> x_0^-) f'(x) = lim_(x -> x_0^-)[lim_(x -> x_0^-) (f(x)-f(x_0)) / (x - x_0)] $
Affinché $a \ne b$, i limiti dentro le parentesi quadre dovrebbero essere diversi, il che significa che la funzione f(x) non è derivabile in $x_0$, quindi g(x) non ha primitiva in un intorno di $x_0$.
In ogni caso il libro presenta il fatto che g(x) non ha primitiva come conseguenza di questa proprietà dei valori intermedi per le derivate.
In effetti, a buon senso direi che se la derivata ha una discontinuità di prima specie la primitiva ha tipicamente un punto angoloso e quindi in quel punto non è derivabile. Diciamo che se alla fine della frase "Se ne deduce ad esempio che una funzione con una o più discontinuità di prima specie in un intervallo non può avere primitiva" si aggiungesse: "... derivabile in tutto l'intervallo", forse il problema sarebbe risolto in modo accettabile, credo.
ok, grazie Palliit.
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