Funzioni
Potreste spiegarmi come faccio a capire quando una funzione è biettiva, iniettiva e suriettiva fornendomi alcuni esempi?!? Grazie 
Risposte
"Bambolina*":
Potreste spiegarmi come faccio a capire quando una funzione è biettiva, iniettiva e suriettiva fornendomi alcuni esempi?!? Grazie
Due modi abbastanza semplici per dimostrare che una funzione è biunivoca sono i seguenti: o verifichi, mediante le definizioni, che la funzione è suriettiva e iniettiva, oppure determini la funzione inversa.
Visto che hai postato nella sezione adibita alla matematica delle superiori, penso sia opportuno che mi limiti a quanto detto...
Gli esempi li puoi trovare su qualche libro o spulciando tra i vecchi argomenti del forum; se hai qualche esercizio che non sai svolgere, proponilo...
Considera anche questo metodo "visivo" per capire se una funzione è iniettiva. Se tracciando una qualunque retta parallela all'asse x, essa interseca la funzione in al più un solo punto, allora la funzione è iniettiva.
Esempi di funzioni iniettive: una retta non parallela all'asse x, la funzione $y=x^3$, $y=log x$, $y=e^x$.
Esempi di funzioni non iniettive: parabole con l'asse parallelo all'asse y, $y=|x|$
Una funzione definita da $A$ a $B$ è suriettiva se $f(A)=B$, ovvero se prende qualunque valore in $B$. Questa, a differenza dell'iniettività, è una proprietà che ti puoi procurare senza sforzo: basta "tagliare via" la parte di $B$ in cui la funzione non assume valori (basta porre $f:A\to f(A)$). Per l'iniettività non potresti fare la stessa cosa senza tagliare un pezzo di funzione (pensa ad una parabola!).
Esempi di funzioni suriettive: $y=tan x, y: (-\pi/2, \pi/2)\to \mathbb{R}$
$y=e^x, y:mathbb{R}\to mathbb{R}^+\setminus\{0\}$
Esempi di funzioni non suriettive (e come le si rende suriettive):
$y=sin x, y:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Dato che $-1\leq sin x\leq 1$ la funzione non è suriettiva. Basta limitarla così per avere la suriettività: $y:\mathbb{R}\to [ -1,1]$
$y=x^2, y:\mathbb{R}\to [ -1,+\infty[$. La funzione non prende valori minori di $0$, quindi bisogna limitare il codominio così: $y:\mathbb{R}\to [0,+\infty[$.
Per vedere se una funzione è biettiva devi verificare se è iniettiva e suriettiva.
Paola
Esempi di funzioni iniettive: una retta non parallela all'asse x, la funzione $y=x^3$, $y=log x$, $y=e^x$.
Esempi di funzioni non iniettive: parabole con l'asse parallelo all'asse y, $y=|x|$
Una funzione definita da $A$ a $B$ è suriettiva se $f(A)=B$, ovvero se prende qualunque valore in $B$. Questa, a differenza dell'iniettività, è una proprietà che ti puoi procurare senza sforzo: basta "tagliare via" la parte di $B$ in cui la funzione non assume valori (basta porre $f:A\to f(A)$). Per l'iniettività non potresti fare la stessa cosa senza tagliare un pezzo di funzione (pensa ad una parabola!).
Esempi di funzioni suriettive: $y=tan x, y: (-\pi/2, \pi/2)\to \mathbb{R}$
$y=e^x, y:mathbb{R}\to mathbb{R}^+\setminus\{0\}$
Esempi di funzioni non suriettive (e come le si rende suriettive):
$y=sin x, y:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Dato che $-1\leq sin x\leq 1$ la funzione non è suriettiva. Basta limitarla così per avere la suriettività: $y:\mathbb{R}\to [ -1,1]$
$y=x^2, y:\mathbb{R}\to [ -1,+\infty[$. La funzione non prende valori minori di $0$, quindi bisogna limitare il codominio così: $y:\mathbb{R}\to [0,+\infty[$.
Per vedere se una funzione è biettiva devi verificare se è iniettiva e suriettiva.
Paola
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