Funzioni (243690)

[fgrerer]

Raga scusate ma come posso capire se una funzione è suriettiva da punto di vista analitico?E perché una funzione è invertibile solo se è biettiva?

[Anthrax606]

Ciao!
Per verificare che una funzione è suriettive dobbiamo avere conferma del fatto che il suo codominio sia definito in tutto

[math]\mathbb{R}[/math]

. Pertanto, data una funzione

[math]y=f(x)[/math]

deve valere che

[math]∀y \in \mathbb{R} ∃x \in \mathbb{R} : y=f(x)[/math]

. Se hai ad esempio una funzione del tipo

[math]y=x^3-3[/math]

devi isolare x in funzione della y e calcolarne il dominio: se l’equazione è verificata per qualsiasi valore, allora la funzione è suriettiva, altrimenti o bisogna fare una restrizione del codominio o la funzione non è suriettiva.
In questo caso:

[math]y=x^3-3 \to x=\sqrt[3]{y+3} \to ∀y \in \mathbb{R}[/math]

(è suriettiva).

Aggiunto 3 minuti più tardi:

Una funzione è invertibile solo s’è biunivoca perché, per essere tale, deve essere definita in un determinato intervallo. Cioè non puoi invertire, ad esempio, una parabola senza restringere il suo codominio, in quanto ci sarebbero dei punti sull’asse delle y che non sono ordinate della parabola. Inoltre, non puoi invertire una parabola senza restringere anche il suo dominio, altrimenti contraddirebbe la definizione di iniettività.