Funzioni
Salve a tutti, facendo questo esercizio ho riscontrato alcuni problemi. L'esercizio è questo:
Date le funzioni
$ f(x)={ ( 3x-3) x<4,( root()(x^2-4x)) x>=4:} $
$ g(x)=root()(x^2+9) $
risolvi $ f(|x|)<=g(-2x) $
Non so proprio come risolverlo. Grazie.
Date le funzioni
$ f(x)={ ( 3x-3) x<4,( root()(x^2-4x)) x>=4:} $
$ g(x)=root()(x^2+9) $
risolvi $ f(|x|)<=g(-2x) $
Non so proprio come risolverlo. Grazie.
Risposte
Inizia col costruire le funzioni $f(|x|)$ e $g(-2x)$, poi le sostituisci nella disequazione, sciogli il valore assoluto e determina gli intervalli in cui valgono le diverse "varianti" delle funzioni (dovute al valore assoluto e alla funzione a tratti) e ... risolvi
Ho fatto così ma non mi trovo con il risultato del libro. Mi viene:
$ 3x-4<=root()(4x^2+9) $ per $ 0<=x<4 $
$ -3x-4<=root()(4x^2+9) $ per $ x<0 $
$ root()(x^2-4x)<=root()(4x^2+9) $ per $ x>=4 $
$ 3x-4<=root()(4x^2+9) $ per $ 0<=x<4 $
$ -3x-4<=root()(4x^2+9) $ per $ x<0 $
$ root()(x^2-4x)<=root()(4x^2+9) $ per $ x>=4 $
Potresti riportare i passaggi che hai fatto? Non ho tempo per fare i conti, ora ...
Allora ho sostituito il valore assoluto nella prima equazione di f(x) (nella seconda no visto che per ipotesi x>4), poi ho sostituito -2x in g(x). Ho diviso la prima equazione di f(x) in due:quando x<0 e x>0 e infine ho posto le tre nuove equazioni di f(x) minori e uguali a g(-2x). Il risultato dovrebbe essere $ x<=-4uu -18/5<=x<=18/5uux>=4 $ ma a me viene tutt'altro. Nella prima infatti mi viene $ 04 $ . Facendo l'unione non mi viene il risultato del libro. Dove ho sbagliato?
$ f(x)={ (3x-3 if x<4),(sqrt(x^2-4x) if x>=4):}\ \ \ \ ->\ \ \ \ f(|x|)={ (-3x-3 if x<0), (3x-3 if 0<=x<4),(sqrt(x^2-4x) if x>=4):}$
$ g(x)=sqrt(x^2+9)\ \ \ \ \ ->\ \ \ \ \ g(-2x)=sqrt(4x^2+9)$
$f(|x|)<=g(-2x)\ \ ->\ \ { (-3x-3<=sqrt(4x^2+9) if x<0), (3x-3<=sqrt(4x^2+9) if 0<=x<4),(sqrt(x^2-4x)<=sqrt(4x^2+9) if x>=4):}$
Per me queste sono le tre disequazioni da risolvere ... riprova da qui ...
$ g(x)=sqrt(x^2+9)\ \ \ \ \ ->\ \ \ \ \ g(-2x)=sqrt(4x^2+9)$
$f(|x|)<=g(-2x)\ \ ->\ \ { (-3x-3<=sqrt(4x^2+9) if x<0), (3x-3<=sqrt(4x^2+9) if 0<=x<4),(sqrt(x^2-4x)<=sqrt(4x^2+9) if x>=4):}$
Per me queste sono le tre disequazioni da risolvere ... riprova da qui ...
Io queste ho fatto ma non so perchè non mi trovo.
Aspetta no, ho messo 4 al posto di 3. Ora riprovo. Grazie mille.
"Giuseppe06":
Io queste ho fatto ma non so perchè non mi trovo.
... non proprio ...
Ma l'ultima disequazione come si risolve? Se elevo al quadrato mi viene impossibile.
Poi il -4 della soluzione da dove esce?
$sqrt(x^2-4x)<=sqrt(4x^2+9)\ \ \ if\ \ \ x>=4$
In questo intervallo i radicandi sono entrambi positivi quindi le radici esistono ed essendo entrarme positive (per definizione) possiamo elevare tutto al quadrato ...
$x^2-4x<=4x^2+9\ ->\ 0<=3x^2+4x+9$ la quale ultima è sempre verificata per ogni $x$ reale e quindi la soluzione di questa disequazione, tenendo conto anche dell'intervallo di esistenza, è $x>=4$
In questo intervallo i radicandi sono entrambi positivi quindi le radici esistono ed essendo entrarme positive (per definizione) possiamo elevare tutto al quadrato ...
$x^2-4x<=4x^2+9\ ->\ 0<=3x^2+4x+9$ la quale ultima è sempre verificata per ogni $x$ reale e quindi la soluzione di questa disequazione, tenendo conto anche dell'intervallo di esistenza, è $x>=4$
Giusto avevo dimenticato di cambiare il segno alla disequazione. Ma x<-4 da dove esce?
Posta come hai risolto le altre due e vediamo ...
Una mi viene $ -18/5<=x<=0 $ e l'altra $ 0<=x<=18/5 $ . Le ho risolte facendo i due sistemi per una disequazione irrazionale.
$-3x-3<=sqrt(4x^2+9)$
${(4x^2+9>=0),(-3x-3<0):} vv {(4x^2+9>=(-3x-3)^2),(-3x-3>=0):}$
Le soluzioni del primo sistema sono $-1
$3x-3<=sqrt(4x^2+9)$
${(4x^2+9>=0),(3x-3<0):} vv {(4x^2+9>=(3x-3)^2),(3x-3>=0):}$
Le soluzioni del primo sistema sono $0<=x<1$, quelle del secondo sono $1<=x<18/5$, complessivamente $0<=x<=18/5$
Mi sembra che le tue soluzioni siano corrette ...
${(4x^2+9>=0),(-3x-3<0):} vv {(4x^2+9>=(-3x-3)^2),(-3x-3>=0):}$
Le soluzioni del primo sistema sono $-1
$3x-3<=sqrt(4x^2+9)$
${(4x^2+9>=0),(3x-3<0):} vv {(4x^2+9>=(3x-3)^2),(3x-3>=0):}$
Le soluzioni del primo sistema sono $0<=x<1$, quelle del secondo sono $1<=x<18/5$, complessivamente $0<=x<=18/5$
Mi sembra che le tue soluzioni siano corrette ...
Chissà perchè il libro metta anche x<-4. Comunque grazie mille per la tua disponibilità e gentilezza.
Vediamo se qualcuno altro ci aiuta a capire ...
Temo che l'errore sia a monte e che
$f(|x|)= { (3|x|-3 if |x|<4),(sqrt(|x|^2-4|x|) if |x|>=4):}$ dia origine a 4 casi, non a 3, precisamente:
$f(|x|)={ (sqrt(x^2+4x) if x<= -4), (-3x-3 if -4=4):}$
$f(|x|)= { (3|x|-3 if |x|<4),(sqrt(|x|^2-4|x|) if |x|>=4):}$ dia origine a 4 casi, non a 3, precisamente:
$f(|x|)={ (sqrt(x^2+4x) if x<= -4), (-3x-3 if -4
Un'interpretazione un po' azzardata (non la tua, dico, ma di chi l'ha pensata ...) ... non mi è mai capitato di veder "coinvolta" anche la variabile che discrimina il dominio ... ma tant'è ...
"axpgn":
Un'interpretazione un po' azzardata...
Beh! Non è carino
definire 'azzardata' un'interpretazione solo perché non coincide con la tua. In fin dei conti mantiene la proprietà che vuole $ f(|x|) $ simmetrica pari e, visto che anche $ g(x) $ lo è, permette di ridurre l'elaborazione ai soli valori non negativi della variabile. Ciao
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