Funzione Omografica (dimostrazione)

[edo1493]

Dimostrare che la seguente funzione omografica sia un iperbole: $ y = (ax + b)/(bx + c) $.
Io farei in questo modo:
$ xyb + cy -ax -b = 0 $
(1)$ ax - cy - xyb + b = 0 $ Io so che una curva ha equazione $ ax^2 + bx^2 + cxy + dx + ey+ f = 0 $


a e b devono essere discordi e il Delta deve essere minore di 0.
Come lo verifico nella prima (1) equazione ...?

[giammaria2]

Qualche precisazione: l'equazione di una conica generica è $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$ ($b$ deve essere il coefficiente di $xy$) ed è un'iperbole se il discriminante $b^2-4ac$ è positivo, indipendentemente dal segno di $a$ e $c$ (è più abituale considerare il discriminante cambiato di segno e allora si chiede che sia negativo). Nel caso di coniche non ruotate si ha $b=0$ e il discriminante è positivo solo se $a$ e $c$ hanno segno diverso: è la regola a cui pensavi, ma non quella generale.
Nel tuo caso, l'equazione è $0x^2+bxy+0y^2-ax+cy-b=0$, quindi $Delta=b^2-4*0*0$: è un'iperbole, purchè sia $b!=0$ (in caso contrario, hai un'equazione di primo grado, cioè una retta). Si potrebbe continuare, dimostrando che l'iperbole è equilatera, ma il tuo testo non lo richiede.
Preciso che la condizione $Delta>0$ vale anche per quelle che sono dette iperboli degeneri, cioè per l'insieme di due rette non parallele; per escluderle, occorre anche un'altra condizione, ma non mi sembra il caso di proseguire oltre.

[edo1493]

Invece per l'ellisse il discriminante deve essere minore di 0, giusto?

[giammaria2]

Giusto, e per la parabola è zero.