Funzione Omografica
Come faccio a dimostrare che questa $ y = (ax + b) / (cx + d) $ sia una conica con Delta > 0.
Ho provato a cercare qualcosa in rete o sul mio libro di testo, ma non ho trovato nulla.
Una conica ha particolari condizioni?
Dividendo numeratore e denominatore per x si trova una parabola di questo tipo $ Yc = ax^2 + x(b-d)$ , ma come faccio a dimostrare che abbia Delta > 0 ?
Ho provato a cercare qualcosa in rete o sul mio libro di testo, ma non ho trovato nulla.
Una conica ha particolari condizioni?
Dividendo numeratore e denominatore per x si trova una parabola di questo tipo $ Yc = ax^2 + x(b-d)$ , ma come faccio a dimostrare che abbia Delta > 0 ?
Risposte
ciao
Nell'ipotesi che sia $c!=0$ e $bc!=ad$ la funzione è un'iperbole equilatera con asintoti:
[tex]$\[x = - \frac{d}{c}\]$[/tex]
e
[tex]$\[y = \frac{a}{c}\]$[/tex]
Per verificarlo puoi operare una traslazione che porti il punto [tex]$\[O \equiv (0;0)\]$[/tex] nel punto [tex]$\[O' \equiv ( - \frac{d}{c};\frac{a}{c})\]$[/tex]
Il discriminante della conica è positivo.
Se hai dubbi chiedi pure.
Nell'ipotesi che sia $c!=0$ e $bc!=ad$ la funzione è un'iperbole equilatera con asintoti:
[tex]$\[x = - \frac{d}{c}\]$[/tex]
e
[tex]$\[y = \frac{a}{c}\]$[/tex]
Per verificarlo puoi operare una traslazione che porti il punto [tex]$\[O \equiv (0;0)\]$[/tex] nel punto [tex]$\[O' \equiv ( - \frac{d}{c};\frac{a}{c})\]$[/tex]
Il discriminante della conica è positivo.
Se hai dubbi chiedi pure.
che ne dici di un bel denominator comune? $cxy+dy-ax-b=0$, che rispetto all'equazione generale delle coniche $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ il cui discriminante è quello della forma di II grado, quindi $B^2-4AC$, guardando la tua conica hai $A=C=0$ e $B=c$, quindi il discriminante è positivo perché è un quadrato $c^2>0$, ovviamente sotto le condizioni $c!=0$ e $bc!=ad$ come ti ha già detto piero_, la prima non permetterebbe al discriminante di essere positivo, mentre la seconda rande degenere la conica.
Non so se mi sono spiegata, eventualmente chiedi delucidazioni
Non so se mi sono spiegata, eventualmente chiedi delucidazioni
La soluzione di piero_ non mi ha convinto molto, lui elenca solo una condizione per avere una figura omografica, non dimostra che il Delta sia maggiore di 0.
con un po' di semplici calcoli ottieni
[tex]$\[XY = \frac{{bc - ad}}{{c^2 }}\]$[/tex]
con le condizioni già dette, non solo è una conica (nella forma descritta da @melia), ma il discriminante della conica è positivo quindi è un'iperbole equilatera, nel riferimento [tex]O'XY[/tex].
[tex]$\[\Delta = B^2 - 4AC > 0\]$[/tex]
la mia voleva essere un'indicazione sulla soluzione, pensavo che i conti li facessi tu.
Per inciso, la soluzione proposta da @melia è più immediata, ma arriva alle stesse conclusioni.
[tex]$\[XY = \frac{{bc - ad}}{{c^2 }}\]$[/tex]
con le condizioni già dette, non solo è una conica (nella forma descritta da @melia), ma il discriminante della conica è positivo quindi è un'iperbole equilatera, nel riferimento [tex]O'XY[/tex].
[tex]$\[\Delta = B^2 - 4AC > 0\]$[/tex]
la mia voleva essere un'indicazione sulla soluzione, pensavo che i conti li facessi tu.
Per inciso, la soluzione proposta da @melia è più immediata, ma arriva alle stesse conclusioni.
Ok, mi rifaccio i conti da soloe do un'occhiata.
Grazie.
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