Funzione omografia

[Smicrine]

Salve a tutti sono un nuovo utente,
in vista dei mesi estivi la professoressa di matematica ci ha assegnato vari esercizi tra problemi ed equazioni da rappresentare graficamente. L'ultimo programma che l'insegnante ha spiegato durante l'anno è stato quello delle funzioni omografiche, fatto proprio l'ultimo giorno di scuola.
Dunque su questo esercizio, una funzione omografica da rappresentare graficamente avrei dei problemi qualcuno mi potrebbe aiutare ?

http://img529.imageshack.us/img529/8292/funzione.jpg

allora innanzitutto quando si parla di funzioni omografiche l'insegnate ci ha detto che dobbiamo svolgere 4 punti: trovare il dominio, le intersezioni con gli assi , calcolare la positività e gli asintoti. Nel caso di questo esercizio sono partito non considerando il modulo generale , basta infatti ribaltare la parte negativa facendola divenire positiva , come se non ci fosse ma comunque sbaglio qualcosa. Pregherei che qualcuno mi possa aiutare grazie

[blackbishop13]

riscrivo l'equazione in formato MathML

$y=|(|x|+2)/(-2|x|+1)|$

come equazione omografica è un po' particolare
comunque
calcola il dominio che è $x!= \pm 1/2$
intersezione con l'asse $x=0$ in $(0;2)$
la positività, che è semplice visto il modulo esterno (è sempre positiva, non può essere nulla)
e gli asintoti, nel modo in cui li sai calcolare (non credo che utilizzi i limiti, o sbaglio?) che comunque sono uno orizzontale e due verticali:
$y=0$ $x=1/2$ $x=-1/2$
e poi dovrebbe essere fatta.(visto che non credo tu calcoli già i limiti, o sbaglio?)
dove ti inceppi?

[redlex91-votailprof]

Io invece partirei dal modulo interno, ma prima, hai fatto il teorema relativo ai moduli che ti permette di graficare velocemente $y=f(|x|)$? Tale teorema permette di disegnare il grafico "eliminando" la parte per x<0 e simmetrizzando la parte per le x positive rispetto all'asse x=0.

1.
Disegni la funzione $f(x)=(x+2)/(-2x+1)$ dopo aver torvato:
- dominio: $ 1-2|x|!=0 rArr x!=pm1/2 rArr D_f=RR-{+-1/2}$
- intersezioni:
$ x=0$ $ y=2 rArr P(0;2)
$y=0$ $ nexists x in RR
- positività: banalmente sempre positivo eccetto per i valori esclusi dal dominio
- centro (ossia asintoti): queste devo ripassarmele $C(-d/c;a/c) rArr C(1/2;-1/2)
[asvg]axes(); // visualizza gli assi
stroke="green"; // seleziona il colore verde
plot("(x+2)/(-2x+1)"); // disegna la conica d'equazione y = x^2 - 2[/asvg]
2.Quindi "elimini" la parte per $x<0$ e simmetrizzi la parte per $x>=0$ rispetto a x=0
[asvg]axes(); // visualizza gli assi
stroke="green"; // seleziona il colore verde
plot("(abs(x)+2)/(-2abs(x)+1)"); // disegna la conica d'equazione y = x^2 - 2[/asvg]
3. "Cancelli" la parte negativa e la "ribalti"
[asvg]axes(); // visualizza gli assi
stroke="green"; // seleziona il colore verde
plot("abs((abs(x)+2)/(-2abs(x)+1))"); // disegna la conica d'equazione y = x^2 - 2[/asvg]

[Smicrine]

allora con le formule x = -d/c l'asintoto verticale risulta x = +o- 1/2 quello orizzontale mi viene y = -1/2 y=a/c

arrivo a questo punto però non so poi come fare il disegno : http://img200.imageshack.us/img200/8603/funzione2.png

[redlex91-votailprof]

"Smicrine":allora con le formule x = -d/c l'asintoto verticale risulta x = +o- 1/2 quello orizzontale mi viene y = -1/2 y=a/c

arrivo a questo punto però non so poi come fare il disegno : http://img200.imageshack.us/img200/8603/funzione2.png

Ti consiglio di farlo per parti come ho fatto sopra, altrimenti rischi di confonderti. Conosci la "regoletta" cui ho accennato al punto 2? Altrimenti è necessario aprire il modulo contenete x.

[Smicrine]

no mi sa che allora devo discutere i moduli

[redlex91-votailprof]

Visto che conosci la "regola del ribaltamento" (come sono rozzo ) parti aprendo il modulino alla x:

Fa' finta di voler graficare semplicemente $f(x)=(|x|+2)/(-2|x|+1)$ e fregatene del modulo esterno, per ora.

$f(x)=(|x|+2)/(-2|x|+1)={((x+2)/(-2x+1), if x>=0 text()), ((-x+2)/(2x+1), if x<0 text([II])):}$

$y=(x+2)/(-2x+1), if x>=0

$ C_(1)(1/2;-1/2)$ disegni il grafico di per $x>=0$ e attento a non dimenticare la parte del ramo superiore che "parte" da P.

[II] $y=(-x+2)/(2x+1), if x<0

$C_(2)(-1/2;-1/2)$ disegni il grafico di [II] per $x<0$ e ottieni il:
2.
[asvg]axes();
stroke="green";
plot("(abs(x)+2)/(-2abs(x)+1)");[/asvg]
infine "ribalti":
[asvg]axes();
stroke="green";
plot("abs((abs(x)+2)/(-2abs(x)+1))");[/asvg]

P.S.: elimina mentalmente quei due robi che deturpano il grafico finale.
P.P.S.: quando hai scritto il titolo hai dimenticato una c nella penna.
T.P.S.: tranquillo è l'ultimo, volevo solo dire che le operazioni preliminari (dominio, positività, intersezioni...) debbono essere fatte comunque, ovviamente ti danno informazioni sul grafico finale, per questo trovi $x!=+-1/2

[Smicrine]

faccio come hai scritto però una cosa per disegnare la prima equazione calcolo anche la positività con N>0 e D>0 con successivo grafico o disegno subito tutto per y>0 visto che tanto alla fine dovrò "ribaltare" tutto e sarà tutto dalla parte positiva ?

[redlex91-votailprof]

"Smicrine":faccio come hai scritto però una cosa per disegnare la prima equazione calcolo anche la positività con N>0 e D>0 con successivo grafico o disegno subito tutto per y>0 visto che tanto alla fine dovrò "ribaltare" tutto e sarà tutto dalla parte positiva ?

La prima equazione?

Allora, come dicevo, dominio, positività, intersezioni con gli assi di solito io le considero operazioni preliminari e le farei su $f(x)=|(|x|+2)/(-2|x|+1)|$ e ovviamente in questo modo troverai informazioni sul grafico finale.
Per i grafici "intermedi" non è necessario se no finisci domani mattina. Semplicemente apri i modulini e disegni il grafico 2 ed infine "ribalti".

[Smicrine]

come prima equazione intendevo il grafico per x>0. Dunque non calcolo la positività va bene.

[redlex91-votailprof]

Riassumendo.

Data la funzione (omografica) $f(x)=|(|x|+2)/(-2|x|+1)|$ trovare:
- Dominio;
- Positività;
- Intersezioni con gli assi;
e tracciarne il grafico $\phi$.

Risoluzione

Dominio $-2|x|+1!=0 rArr -2|x|!=-1 rArr |x|!=1/2 rArr text(poiché ) |f(x)|=a hArr f(x)=+-a rArr x!=+-1/2 rArr D_f=RR-{+-1/2}={x inRR:x!=+-1/2}
Positività $y>0 rArr |(|x|+2)/(-2|x|+1)|>0 rArr AAx in RR-{+-1/2}
Intersezione con gli assi coordinati
$nnn x=0 rArry=2 rArr $la funzione interseca l'asse delle ascisse nel punto $P(0;2)
$nnn y=0 rArr nexists x in RR
Grafico

[size=150]Metodo 1[/size]

Sapendo a priori che una funzione del tipo $y=f(|x|)$ ha grafico "riflesso" rispetto all'asse delle ordinate.

Dimostrazione:

Sia $y=f(|x|)$ una funzione, per definizione di modulo $|a|={(a,a>=0),(-a,a<0):}$, segue che:

$y=f(|x|)={(f(x),x>=0),(f(-x),x<0):}

Si noti che per $x<0$ la funzione risulta simmetrizzata rispetto all'asse delle ordinate nella simmetria $\sigma_(x=0):{(x'=-x),(y'=y):}$, ossia
$y=f(x) to\sigma_(x=0):{(x'=-x),(y'=y):}to y'=f(-x')$, essendo x e y variabili $rArr y=f(-x)$.*
Abbiamo dimostrato che il grafico di una qualsiasi funzione del tipo $y=f(|x|)$ risulta "riflesso" rispetto a $x=0$, pertanto trovandoci di fronte ad una funzione del detto tipo sarà sufficiente disegnare $y=f(x)$ per le x positive e successivamente simmetrizzare rispetto all'asse delle ordinate. Q.E.D.

Partiamo dal grafico di $y=(x+2)/(-2x+1)$. Per disegnarlo avremo bisogno del centro e delle intersezioni con gli assi; possiamo muoverci in due modi:
1. $C(-d/c;a/c) rArr C(1/2;-1/2)
$nnn x=0 rArry=2 rArr $la funzione interseca l'asse delle ascisse nel punto $P(0;2)
$nnn y=0 rArr x=-2
Le intersezioni con gli assi ci forniscono la posizione della curva rispetto ai due asintoti, altrimenti possiamo procedere nel modo seguente.
2. $(x+2)/(-2x+1)$ è una divisione fra due binomi, pertanto$ P(x)=Q(x)*D(x)+R(x)$ ossia:
$ x+2=-1/2(-2x+1)+3/2
dividiamo tutto per D(x)
$ (x+2)/(-2x+1)=-1/2(-2x+1)/(-2x+1)+(3/2)/(-2x+1)
Pertanto $y=-1/2+3/(2(-2x+1))
Osserviamo che $y=-1/2$ è asintoto orizzontale e $-2x+1=0 rArr x=1/2$ è asintoto verticale. Inoltre se $-2x+1>0 rArr x<1/2$ la curva sta sopra a $y=-1/2$, viceversa per $x>1/2$ la curva sta sotto.
[asvg]axes("labels","grid");
stroke="green";
plot("(x+2)/(-2x+1)");[/asvg]
Ora possiamo applicare la suddetta "regola del riflesso"**, cancellando la parte di grafico per le x negative e simmetrizzando la parte restante rispetto all'asse delle ordinate. Prestare particolare attenzione:
- ai punti di intersezioni con gli assi, in questo caso$ P(0;2)$;
- all'asintoto verticale $x=1/2$ giacché verrà anch'esso simmetrizzato in $x=-1/2$
[asvg]axes("labels","grid");
stroke="red";
plot("(abs(x)+2)/(-2abs(x)+1)");[/asvg]
Applichiamo ora la "regola del ribaltamento"** (forse maggiormente conosciuta), facendo ancora attenzione a punti di intersezione (in questo caso non ci sono intersezioni con l'asse delle ascisse) e agli asintoti ($y=-1/2$ verrà mutato in $y=1/2$).
[asvg]axes("labels","grid");
stroke="blue";
plot("abs((abs(x)+2)/(-2abs(x)+1))");[/asvg]***

[size=150]Metodo 2[/size]

Si dà per conosciuta solo la "regola del ribaltamento"**, e, no, non ci sarà un metodo 3 per chi non la conosce.
Ahimè, ci tocca "aprire" il modulo. Poiché conosciamo la "regola del ribaltamento"**, per ora trascuriamo il modulo esterno e ci proponiamo di graficare $y=(|x|+2)/(-2|x|+1)$. Sempre per la definzione di valore assoluto $|a|={(a,a>=0),(-a,a<0):}$ segue che:
$y=(|x|+2)/(-2|x|+1)={((x+2)/(-2x+1),if x>=0),((-x+2)/(2x+1),if x<0):}$
Troviamo centro e intersezione di ogni sezione di iperbole:
- $C_1(1/2;-1/2)
$ nnn x=0 rArr y=2
$ nnn y=0 rArr nexists x in RR$ (ricordiamo che cerchiamo le intersezioni per $x>=0$)
Disegnamo la parte di iperbole per $x>=0$, la posizione rispetto agli asintoti, (come già detto) è fornita dai punti di intersezione.
- $C_2(-1/2:-1/2)
$nnn x=0 rArr y=2 $in realtà non ci sarebbe poiché dobbiamo disegnarla per le x strettamente minori, ma è comunque un punto di riferimento, giacché si "aggancia" all'altra parte di iperbole.
$nnn y=0 rArr nexists x in RR$ (ricordiamo che cerchiamo le intersezioni per $x<0$)
Disegnamo la parte di iperbole per $x<0$. Otterremo questo grafico:
[asvg]axes("labels","grid");
stroke="red";
plot("(abs(x)+2)/(-2abs(x)+1)");[/asvg]
Applichiamo la "regola del ribaltamento"**:
[asvg]axes("labels","grid");
stroke="blue";
plot("abs((abs(x)+2)/(-2abs(x)+1))");[/asvg]***

*Come si fa la frecciona con sopra la simmetria che viene applicata?
**N.d.A. nome puramente inventato
***Cosa sono quei due robi che mi rovinano il grafico?

Segnalazioni di errori, inesattezze e imprecisioni sono graditissime. Se ho scritto qualche "bestemmia" farò pubblica ammenda (siate misericordiosi).

[Smicrine]

Molte grazie per l'aiuto domani rileggo tutto con calma .

[redlex91-votailprof]

"Smicrine":Molte grazie per l'aiuto domani rileggo tutto con calma .

Di niente, spero possa esserti stato d'aiuto.