Funzione logaritmica: ricerca asintoti

[SergeiDragunov]

$f(x)= xlog(1-1/x)$

Il dominio è $]-oo, 01, +oo[$

Ho difficoltà nel determinare
· asintoto verticale a $0^-$: $lim_(x->0^-) xlog(1-1/x)$

· asintoto orizzontale: $lim_(x->+-oo) xlog(1-1/x)$

poiché, in entrambi i casi, ottengo una f.i. $0*oo$ o $oo*0$ che non riesco a eliminare.

Come risolvere?

[axpgn]

De L'Hopital (ovviamente dopo averle riscritte nel formato necessario)

[@melia]

PS a $0^-$ non c'è asintoto verticale.

[axpgn]

Difatti ha detto che li stava cercando, non che li aveva trovati

[@melia]

Giusto! Hai ragione.

[SergeiDragunov]

"axpgn":De L'Hopital (ovviamente dopo averle riscritte nel formato necessario)

Inizio con la ricerca dell'asintoto orizziontale a $+oo$.
Per poter applicare De L'Hopital, devo ricondurmi a una f.i. $0/0$ o $oo/oo$, quindi:

$xlog(1-1/x)->$ $(log(1-1/x))/(1/x)$, la cui derivata è:

$(1/(1-1/x)1/x^2 1/x -log(1-1/x)1/x^2)/(1/x)^2$

Ora dovrei continuare a derivare e fare lo stesso per $x->-oo$, giusto?

[axpgn]

"SergeiDragunov":$xlog(1-1/x)->$ $(log(1-1/x))/(1/x)$, la cui derivata è:

$(1/(1-1/x)1/x^2 1/x -log(1-1/x)1/x^2)/(1/x)^2$

Naaaa, non si applica così De L'Hopital (ripassa per bene l'argomento)

Il teorema relativo dice che (assolte le opportune condizioni) il limite del rapporto di due funzioni è uguale al rapporto fra le loro derivate cioè, detto in soldoni, se devi fare il limite di $(f(x))/(g(x))$ puoi sostituirlo con il limite di $(f'(x))/(g'(x))$

Nel caso specifico abbiamo:

$f(x)=log(1-1/x)$

$g(x)=1/x$

$f'(x)=x/(x-1)*1/x^2$

$g'(x)=-1/x^2$

per cui [size=150]$(f'(x))/(g'(x))=(x/(x-1)*1/x^2)/(-1/x^2)=x/(1-x)$[/size]

Calcolare il limite di quest'ultima espressione è più semplice mi pare, no?

Cordialmente, Alex

[SergeiDragunov]

Grazie axpgn.

Ho ricalcolato il tutto e ho ottenuto:
nessun asintoto verticale per $0^+-$;
asintoto verticale a $-oo$ per $1^+$;
nessun asintoto verticale per $1^-$;
asintoti orizzontali a $-1$ per $+-oo$.

Potevo evitare di ricercare gli asintoti a $0^+$ e $1^-$ essendo questi punti esclusi dal dominio $]−∞,01,+∞[$ ?

Proseguendo con lo studio della funzione, ne calcolo la derivata prima per poi porla $>0$:
$y'= log(1-1/x)+(x*x/(x-1)*1/x^2)$
= $log(1-1/x)+1/(x-1)>0$

Il sistema risultante è corretto?
${(1-1/x+1/(x-1)>1), (1-1/x>0):}$

[axpgn]

"SergeiDragunov":Potevo evitare di ricercare gli asintoti a $0^+$ e $1^-$ essendo questi punti esclusi dal dominio $]−∞,01,+∞[$ ?

Dovevi evitare anzi non potevi proprio calcolarli dato che lì la funzione non esiste, mi domando come tu abbia fatto ...

Il sistema non serve dato che la seconda equazione era quella per determinare il C.E. ma la prima è sbagliata: fai sparire un logaritmo così, di botto; e il resto?

[SergeiDragunov]

$1-1/x>e^(-1/(x-1))$ ?

[axpgn]

Sì, solo che quella non la risolvi analiticamente ... occorre un grafico per studiarla ...

[SergeiDragunov]

Sono in difficoltà, non saprei in quale altra forma scriverla per poter risolverla.

[axpgn]

IMHO ... Non si risolve analiticamente, non ci puoi fare niente ... magari qualcuno tira fuori il coniglio dal cilindro ma non credo

[teorema55]

Sono d'accordo con Alex. Graficamente vedi subito che

$\lim_(x->+-∞)f(x)=-1$ ed individua l'asintoto orizzontale $y=-1$
$\lim_(x->0^-)f(x)=0$ e non esiste asintoto
$\lim_(x->1^+)f(x)=-∞$ ed individua l'asintoto verticale $x=1$

Dopo, confrontati con la funzione i risultati ottenuti per via grafica, ne verificherai la correttezza.

IMHO, come dice..................



Marco