Funzione logaritmica e irrazionale,dubbi sul metodo della sostituzione.
Scusate ma non riesco a scrivere correttamente la base e l'argomento del logaritmo. Mi rifarò a questo metodo --> log(base,argomento).
$ y=sqrt[81log^4(1/8,x)+log^2(1/2,x)-2] $
In sè per sè l'esercizio non sembra complesso,cerco allora di utilizzare il cambio della base e log^2(1/2,x) diventa log(1/8,x)/3. Poi andando ad utilizzare il metodo della sostituzione,cioè t=log^2(1/8,x),non viene. Il delta assumerebbe un valore troppo alto e logicamente non corrisponderebbe al risultato del libro.
Il risultato del libro è: x<=1/2 U x>=2
$ y=sqrt[81log^4(1/8,x)+log^2(1/2,x)-2] $
In sè per sè l'esercizio non sembra complesso,cerco allora di utilizzare il cambio della base e log^2(1/2,x) diventa log(1/8,x)/3. Poi andando ad utilizzare il metodo della sostituzione,cioè t=log^2(1/8,x),non viene. Il delta assumerebbe un valore troppo alto e logicamente non corrisponderebbe al risultato del libro.
Il risultato del libro è: x<=1/2 U x>=2
Risposte
Ciao, guarda qui: \[\large
\log_{\frac{1}{2}}x = \log_{\frac{1}{8}} x^3 = 3\log_{\frac{1}{8}}x
\] Quindi \[\large
\log^2_{\frac{1}{2}}x = 9\log^2_{\frac{1}{8}}x
\] Ora puoi notare che il primo termine dell'argomento, cioè $81\log_{\frac{1}{8}}^4 x$, è proprio il quadrato del termine di destra dell'ultima equazione. In conclusione puoi porre \[
\large
t = \log^2_{\frac{1}{2}}x
\] e ottieni \[
t^2 + t - 2 \geq 0
\] che risolvi facilmente, trovando poi gli stessi risultati del libro.
\log_{\frac{1}{2}}x = \log_{\frac{1}{8}} x^3 = 3\log_{\frac{1}{8}}x
\] Quindi \[\large
\log^2_{\frac{1}{2}}x = 9\log^2_{\frac{1}{8}}x
\] Ora puoi notare che il primo termine dell'argomento, cioè $81\log_{\frac{1}{8}}^4 x$, è proprio il quadrato del termine di destra dell'ultima equazione. In conclusione puoi porre \[
\large
t = \log^2_{\frac{1}{2}}x
\] e ottieni \[
t^2 + t - 2 \geq 0
\] che risolvi facilmente, trovando poi gli stessi risultati del libro.
"minomic":
Ciao, guarda qui: \[\large
\log_{\frac{1}{2}}x = \log_{\frac{1}{8}} x^3 = 3\log_{\frac{1}{8}}x
\] Quindi \[\large
\log^2_{\frac{1}{2}}x = 9\log^2_{\frac{1}{8}}x
\] Ora puoi notare che il primo termine dell'argomento, cioè $81\log_{\frac{1}{8}}^4 x$, è proprio il quadrato del termine di destra dell'ultima equazione. In conclusione puoi porre \[
\large
t = \log^2_{\frac{1}{2}}x
\] e ottieni \[
t^2 + t - 2 \geq 0
\] che risolvi facilmente, trovando poi gli stessi risultati del libro.
Scusa ma non ho capito il primo passaggio, cioè la prima uguaglianza.
\[\large
\log_{\frac{1}{2}}x = \log_{\frac{1}{8}} x^3 = 3\log_{\frac{1}{8}}x
\]
Credo di aver intuito forse, hai applicato qualche proprietà dei logaritmi che adesso mi sfugge? 1/8=(1/2)^3 credo sia questo..
Sì, ho applicato una proprietà che solitamente (almeno per la mia esperienza) è poco nota. Deriva comunque da quella del cambio di base.
Proprietà. Elevando la base e l'argomento di un logaritmo alla stessa potenza, il risultato non cambia. In formule \[\large
\log_a b = \log_{a^n} b^n
\] Dimostrazione. \[
\log_{a^n} b^n = n \log_{a^n} b = n\ \frac{\log_a b}{\log_a a^n} = n\ \frac{\log_a b}{n} = \log_a b
\] dove nella seconda uguaglianza ho usato proprio la formula del cambio di base.
A questo punto puoi usare questa proprietà per dire\[
\large
\log_{\frac{1}{2}}x = \log_{\frac{1}{8}} x^3 \]
Proprietà. Elevando la base e l'argomento di un logaritmo alla stessa potenza, il risultato non cambia. In formule \[\large
\log_a b = \log_{a^n} b^n
\] Dimostrazione. \[
\log_{a^n} b^n = n \log_{a^n} b = n\ \frac{\log_a b}{\log_a a^n} = n\ \frac{\log_a b}{n} = \log_a b
\] dove nella seconda uguaglianza ho usato proprio la formula del cambio di base.
A questo punto puoi usare questa proprietà per dire\[
\large
\log_{\frac{1}{2}}x = \log_{\frac{1}{8}} x^3 \]
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