Funzione invertibile
Quali sono le condizioni per cui una funzione y = f(x) può essere invertita?
Risposte
considera che una relazione binaria è sempre invertibile, dunque l'inversa di una funzione esiste sempre come "relazione".
una funzione è invertibile se la relazione inversa è anch'essa una funzione.
quali sono i requisiti che deve avere una relazione per essere una funzione?
la risposta che potrei darti su qual è la classe delle funzioni invertibili è piuttosto banale, e la puoi trovare su qualsiasi testo, ma prova un po' a ragionare...
facci sapere che cosa riesci a concludere, ed eventualmente ti correggeremo. ciao.
una funzione è invertibile se la relazione inversa è anch'essa una funzione.
quali sono i requisiti che deve avere una relazione per essere una funzione?
la risposta che potrei darti su qual è la classe delle funzioni invertibili è piuttosto banale, e la puoi trovare su qualsiasi testo, ma prova un po' a ragionare...
facci sapere che cosa riesci a concludere, ed eventualmente ti correggeremo. ciao.
Io sapevo che è invertibile quando è iniettiva Ma come si fa a dire che una funzione è iniettiva. Ma se ho una f(x) generico come faccio a capire se è invertibile?
Detto terra terra, non deve ripassare due volte dallo stesso punto. Quindi, a meno di funzioni definite a tratti, o è continua e ha derivata (non nulla, sennò è una retta orizzontale e non si può invertire) di segno costante o se ha discontinuità bisogna dare un'occhiata al codominio studiando segno, comportamento agli estremi, minimi massimi e compagnia bella. 
Beh, sicuramente come dice "Smt_1033" lo studio della monotonia è fondamentale.....infatti anche per funzioni a più variabili si può eseguire lo studio del segno dello Jacobiano, se si ha lo jacobiano definito sempre positivo oppure sempre negativo, allora la funzione risulta essere globalmente invertibile.
Comunque non basta, una funzione potrebbe essere sempre crescente ma -che ne so- avere un asintoto verticale per x=0 e poi magari tendere a infinito per x che tende a infinito, è lì non è invertibile....
Scusa, ma se per $x->0$ si ha un asintoto verticale e poi per $x->infty$ tende ad $infty$, non mi pare essere una funzione sempre crescente, anche perchè avere un asintoto vericale per $x->0$ significa che tende ad $infty$...
"Smt_1033":
Comunque non basta, una funzione potrebbe essere sempre crescente ma -che ne so- avere un asintoto verticale per x=0 e poi magari tendere a infinito per x che tende a infinito, è lì non è invertibile....
Tu stai confonfondendo le cose... Quello che ti serve è che sia strettamente monotona crescente o descrescente. Una funzione può sempre essere invertita in un suo intervallo di monotonia (stretta).
http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_monotona
Ovviamente funzioni biiettive sono invertibili. Funzioni iniettive sono invertibili se si restringe il codominio all'immagine della funzione (rendendola suriettiva).
La tangente, il seno e il coseno hanno una funzione inversa se si restringe in modo appropriato il suo dominio in modo da renderle iniettive.
"adsenseadsense2":
Io sapevo che è invertibile quando è iniettiva Ma come si fa a dire che una funzione è iniettiva. Ma se ho una f(x) generico come faccio a capire se è invertibile?
è iniettiva se $f(x_1)=f(x_2) => x_1=x_2$ cioè se assume valori diversi per diversi elementi del dominio.
in generale devi studiare "negli intervalli che compongono il dominio e nei tratti in cui è continua" che sia strettamente monotòna, e complessivamente "mettere insieme i pezzi".
per i singoli casi ti hanno risposto. facci sapere se è chiaro. ciao.
"vict85":
[quote="Smt_1033"]Comunque non basta, una funzione potrebbe essere sempre crescente ma -che ne so- avere un asintoto verticale per x=0 e poi magari tendere a infinito per x che tende a infinito, è lì non è invertibile....
Tu stai confonfondendo le cose... Quello che ti serve è che sia strettamente monotona crescente o descrescente. Una funzione può sempre essere invertita in un suo intervallo di monotonia (stretta).[/quote]
Sì vabbè era per far notare che il fatto che una funzione sia monotona non implica automaticamente che sia invertibile
"Smt_1033":
Comunque non basta, una funzione potrebbe essere sempre crescente ma -che ne so- avere un asintoto verticale per x=0 e poi magari tendere a infinito per x che tende a infinito, è lì non è invertibile....
comunque così non hai descritto la funzione logaritmo?
"Smt_1033":
[...]
Sì vabbè era per far notare che il fatto che una funzione sia monotona non implica automaticamente che sia invertibile
No, affatto... se la tua funzione è strettamente monotona per $x<0$ dove ha un asintoto verticale e poi lo è ancora (sempre nello stesso senso) a per $x>0$ non è una funzione strettamente monotona su tutto $RR$, ma lo è solo nei due intervalli considerati. La monotonia non è definita dalla derivata della funzione, ma in base alla relazione $f(x_1)>f(X_2)$ se e solo se $x_1>x_2$ (la monotonia decrescente si definisce in modo analogo).
Considera per esempio l'iperbole $y=1/x$, essa è monotona decrescente dei due intervalli $(-\infty,0)$, $(0,+\infty)$ ma ogni $f(x_1)$ per $x_1>0$ è maggiore di qualsiasi $f(x_2)$ per $x_2<0$ mentre invece la definizione di monotonia richiederebbe che $f(x_1)
X adaBTTLS: Hai ragione è proprio il logaritmo... ma credo che intendesse una funzione tipo quelle da me descritte, cioè definite su tutto $RR$ tranne lo $0$.
"adaBTTLS":
[quote="Smt_1033"]Comunque non basta, una funzione potrebbe essere sempre crescente ma -che ne so- avere un asintoto verticale per x=0 e poi magari tendere a infinito per x che tende a infinito, è lì non è invertibile....
comunque così non hai descritto la funzione logaritmo?[/quote]
Lol, mi sono espresso male, intendevo una funzione con dominio da meno a più infinito con quelle caratteristiche.
"vict85":
[quote="Smt_1033"][...]
Sì vabbè era per far notare che il fatto che una funzione sia monotona non implica automaticamente che sia invertibile
No, affatto... se la tua funzione è strettamente monotona per $x<0$ dove ha un asintoto verticale e poi lo è ancora (sempre nello stesso senso) a per $x>0$ non è una funzione strettamente monotona su tutto $RR$, ma lo è solo nei due intervalli considerati. La monotonia non è definita dalla derivata della funzione, ma in base alla relazione $f(x_1)>f(X_2)$ se e solo se $x_1>x_2$ (la monotonia decrescente si definisce in modo analogo).[/quote]
Mi riferivo proprio a una funzione del genere... Giusto, non ci avevo pensato. Grazie per la precisazione
"Smt_1033":
[quote="adaBTTLS"][quote="Smt_1033"]Comunque non basta, una funzione potrebbe essere sempre crescente ma -che ne so- avere un asintoto verticale per x=0 e poi magari tendere a infinito per x che tende a infinito, è lì non è invertibile....
comunque così non hai descritto la funzione logaritmo?[/quote]
Lol, mi sono espresso male, intendevo una funzione con dominio da meno a più infinito con quelle caratteristiche.[/quote]
una piccola variante, che forse chiarisce parecchi dubbi, potrebbe essere questa:
$f(x)={[log|x|," if " x!=0],[0, " if " x=0] :}$
Vabbè se è definita a tratti si può fare un po' quello che si pare E comunque quella non ha derivata sempre positiva
E comunque quella non ha derivata sempre positiva
sì, hai ragione. ormai avevo dimenticato qual era la discussione principale. ti faccio un esempio che spero risponda alla questione.
$f(x)=(x^2-4)/(x+1)$
$g(x)=(x^3)/(x^3+1)$
$h(x)=(e^x-2)/x$
naturalmente non è nulla di eccezionale, impone solo un minimo di attenzione.
EDIT: ho modificato, perché l'esempio che avevo pensato non era molto significativo: questi tre invece, confrontati tra loro, dovrebbero invitare alla riflessione. ciao.
$f(x)=(x^2-4)/(x+1)$
$g(x)=(x^3)/(x^3+1)$
$h(x)=(e^x-2)/x$
naturalmente non è nulla di eccezionale, impone solo un minimo di attenzione.
EDIT: ho modificato, perché l'esempio che avevo pensato non era molto significativo: questi tre invece, confrontati tra loro, dovrebbero invitare alla riflessione. ciao.
Comunque c'e' un teorema (conseguenza del teorema degli zeri)
Se $f$ e' una funzione continua definita su un intervallo (aperto/chiuso/semiaperto/limitato/illimitato) allora
$f$ e' iniettiva se e solo se $f$ e' strettamente monotona.
Riguardo alle piu' variabili non ho ben capito cosa intenda Alexp, ma credo che sia sbagliato (se non si dice che il dominio e' convesso)
EDIT ho corretto iniettiva per continua
Se $f$ e' una funzione continua definita su un intervallo (aperto/chiuso/semiaperto/limitato/illimitato) allora
$f$ e' iniettiva se e solo se $f$ e' strettamente monotona.
Riguardo alle piu' variabili non ho ben capito cosa intenda Alexp, ma credo che sia sbagliato (se non si dice che il dominio e' convesso)
EDIT ho corretto iniettiva per continua
"ViciousGoblin":
Comunque c'e' un teorema (conseguenza del teorema degli zeri)
Se $f$ e' una funzione continua definita su un intervallo (aperto/chiuso/semiaperto/limitato/illimitato) allora
$f$ e' continua se e solo se $f$ e' strettamente monotona.
Forse volevi dire invertibile?
"adaBTTLS":
EDIT: ho modificato, perché l'esempio che avevo pensato non era molto significativo: questi tre invece, confrontati tra loro, dovrebbero invitare alla riflessione. ciao.
E io che stavo già a studiarmi il segno della derivata prima XD
"Smt_1033":
[quote="ViciousGoblin"]Comunque c'e' un teorema (conseguenza del teorema degli zeri)
Se $f$ e' una funzione continua definita su un intervallo (aperto/chiuso/semiaperto/limitato/illimitato) allora
$f$ e' continua se e solo se $f$ e' strettamente monotona.
Forse volevi dire invertibile?[/quote]
Ehhm si' - ora lo correggo. Anzi volevo dire iniettiva.
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