Funzione inversa - come dimostrarlo?
Salve a tutti,
ho un dubbio: come dimostrare che la funzione $f(x)= x^3/3 - 1$ è invertibile?
Non è certo l'equazione di una retta... ho trovato l'inversa ricavando $x$ rispetto a $y$ dall'espressione analitica, poi ho sostituito $x$ con $y$, e il risultato c'è.
Però come dimostro che è invertibile, cioè che la funzione in questione è biiettiva? Avevo pensato a fare il grafico della funzione per verificare l'iniettività e la suriettività, ma non mi trovo.
Grazie anticipatamente.
ho un dubbio: come dimostrare che la funzione $f(x)= x^3/3 - 1$ è invertibile?
Non è certo l'equazione di una retta... ho trovato l'inversa ricavando $x$ rispetto a $y$ dall'espressione analitica, poi ho sostituito $x$ con $y$, e il risultato c'è.
Però come dimostro che è invertibile, cioè che la funzione in questione è biiettiva? Avevo pensato a fare il grafico della funzione per verificare l'iniettività e la suriettività, ma non mi trovo.
Grazie anticipatamente.
Risposte
per l'iniettività è sufficiente dire che è strettamente crescente.
per la suriettività basta dire che è continua e che limite per x->-oo è -oo e limite per x->+oo è +oo (per il teorema dei valori intermedi assume tutti i valori reali, ed una sola volta per la stretta monotonia).
spero di essere stata chiara. ciao.
per la suriettività basta dire che è continua e che limite per x->-oo è -oo e limite per x->+oo è +oo (per il teorema dei valori intermedi assume tutti i valori reali, ed una sola volta per la stretta monotonia).
spero di essere stata chiara. ciao.
che classe fai? intanto sai che la funzione è dispari,quindi simmetrica rispetto l'origine. Hai esplicitato la x in funzione della y hai detto? Cosa ti viene fuori? Dovrebbe venirti $3y+3=x^3$ da cui $x=root(3)(3y+3)$. Qual'è il dominio di questa "funzione" inversa?
Grazie ad entrambi, però:
@ Ada
Di funzioni strettamente crescenti non abbiamo neanche parlato, non ho la minima idea di cosa siano anche perchè sulla teoria del testo inerente gli esercizi (e su quella precedente) non se ne fa assolutamente menzione. E' nelle pagine successive, quindi pare (ripeto, pare) non serva per risolvere quest'esercizio. Di limiti poi mai parlato.
C'è quindi altro modo di risolvere?
@ kekko89
Faccio la quarta liceo scientifico. Mi rendo conto che forse ti stupirò, ma ti assicuro al 100% che di funzioni pari o dispari il testo non ne parla minimamente, nè del resto la professoressa vi ha accennato.
E quindi?
@ Ada
Di funzioni strettamente crescenti non abbiamo neanche parlato, non ho la minima idea di cosa siano anche perchè sulla teoria del testo inerente gli esercizi (e su quella precedente) non se ne fa assolutamente menzione. E' nelle pagine successive, quindi pare (ripeto, pare) non serva per risolvere quest'esercizio. Di limiti poi mai parlato.
C'è quindi altro modo di risolvere?
@ kekko89
Faccio la quarta liceo scientifico. Mi rendo conto che forse ti stupirò, ma ti assicuro al 100% che di funzioni pari o dispari il testo non ne parla minimamente, nè del resto la professoressa vi ha accennato.
E quindi?
tu dicevi di aver ottenuto un risultato. è lo stesso che ti ha scritto kekko89?
quello è il modo "operativo" per trovare l'inversa: è una funzione?
non vedo altro modo, se intendi considerare la funzione da R a R (cioè considerare tutto l'insieme dei numeri reali).
oppure ti è stato assegnato un certo dominio ed un certo codominio su cui lavorare "per punti"?
quello è il modo "operativo" per trovare l'inversa: è una funzione?
non vedo altro modo, se intendi considerare la funzione da R a R (cioè considerare tutto l'insieme dei numeri reali).
oppure ti è stato assegnato un certo dominio ed un certo codominio su cui lavorare "per punti"?
@ Ada
Si, il risultato da me ottenuto (col procedimento che ho già postato) è lo stesso scritto da kekko89. La funzione, per come ci è presentata, è da R in R.
Dico che il risultato "c'è" perchè mi trovo col testo, solo che non capisco come io debba dimostrare la biunivocità della funzione.
Si, il risultato da me ottenuto (col procedimento che ho già postato) è lo stesso scritto da kekko89. La funzione, per come ci è presentata, è da R in R.
Dico che il risultato "c'è" perchè mi trovo col testo, solo che non capisco come io debba dimostrare la biunivocità della funzione.
O meglio, suppongo sia da R in R, perchè comunque dominio e codominio non sono stati assegnati.
secondo me, allora, si tratta semplicemente di dire che hai trovato l'inversa e che anch'essa è una funzione ben definita in tutto R.
potresti provare ad "abbozzare" un grafico per punti, e potresti tracciare in base ad esso il simmetrico rispetto alla retta y=x (grafico dell'inversa),... ma sono dettagli.
potresti provare ad "abbozzare" un grafico per punti, e potresti tracciare in base ad esso il simmetrico rispetto alla retta y=x (grafico dell'inversa),... ma sono dettagli.
In effetti un grafico l'ho abbozzato... ovviamente non è una retta nè può esserlo, è più simile a una retta leggermente incurvata.
Quindi basta dire che ho trovato l'inversa, la quale è ben definita in tutto $R$. Magari stavolta ho un po' esagerato io allora a fissarmi sull'esercizio.
Grazie Ada.
Quindi basta dire che ho trovato l'inversa, la quale è ben definita in tutto $R$. Magari stavolta ho un po' esagerato io allora a fissarmi sull'esercizio.
Grazie Ada.
prego.
... "retta leggermente incurvata"... è da incorniciare!
... "retta leggermente incurvata"... è da incorniciare!
Non ci crederai, ma "retta leggermente incurvata" è stata un'espressione voluta...
speravo in una reazione di sdegno, quantomeno in qualche infiammato post che mi spiegasse cos'è una retta!
speravo in una reazione di sdegno, quantomeno in qualche infiammato post che mi spiegasse cos'è una retta!
no no, se sai bene, la retta è un concetto primitivo, ... non esiste una vera definizione, non l'ha detto nessuno che è "retta"...
per questo sono valide le geometrie non euclidee solo con qualche piccolo "aggiustamento" rispetto alla geometria euclidea!
per questo sono valide le geometrie non euclidee solo con qualche piccolo "aggiustamento" rispetto alla geometria euclidea!
Appunto...
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