Funzione inversa

[giannirecanati]

Ho la seguente funzione:
\(\displaystyle f(x)=\frac{x-2}{x+1} \) e devo trovarne la funzione inversa.

E' noto che il grafico di una funzione e quello della sua inversa sono simmetrici rispetto alle bisettrici dei quadranti. In questo caso le bisettrici sono quelle del 2° e 4° quadrante.
L'equazioni di simmetria sono:
\(\displaystyle x'=-y \) ed \(\displaystyle y'=-x \).

Da questo deduco che se sostituisco ad \(\displaystyle f^{-1}(x) \) la \(\displaystyle x \) con i valori del codominio cambiati di segno ottengo i valori del dominio cambiati di segno. Per cui a me viene \(\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{x-2}{x+1} \).

[Gi81]

Non direi. $f(2)=0$, quindi si deve avere $f^-1 (0)=2$, mentre ti viene $f^-1 (0)=-2$.

[giannirecanati]

In verità per il fatto della simmetria il risultato giusto deve essere \(\displaystyle f^{-1}(0)=-2 \) in quanto \(\displaystyle f^{-1}(-y)=-x \).

[Gi81]

Non stiamo cercando la funzione inversa?
Data una funzione $f$ (biunivoca), ogniqualvolta si ha $f(a)=b$ allora deve valere $f^-1(b)=a$.

[giannirecanati]

Ho molti dubbi su questo fatto, non saprei che fare, puoi spiegarmelo?

[Gi81]

\[y=\frac{x-2}{x+1}\]
Facendo qualche passaggio algebrico cerchiamo di arrivare ad avere \(\displaystyle x= \text{ qualcosa con } y \).

[giannirecanati]

Ok, fin qui c'ero, si ottiene \(\displaystyle x=\frac{2+y}{1-y} \), ma provando a fare il grafico si vede che non è simmetrico rispetto alla bisettrice.

[Gi81]

Invece a me viene quella l'inversa: \(\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{2+x}{1-x} \) è l'inversa di $f(x)= (x-2)/(x+1)$

[giannirecanati]

Le due funzioni così sono simmetriche rispetto alla bisettrice del 1 e 3 quadrante. Non dovrebbero essere simmetriche rispetto a 2 e 4? E' questo che non riesco a capire.

[Gi81]

La simmetria tra il grafico di una funzione (biunivoca) e quello della sua inversa è sempre rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.

[giannirecanati]

Ah ecco, grazie ancora Gi8.