Funzione inversa
Sia \(\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \)
\(\displaystyle f(x)=\begin{cases} x^2 & \mbox{se }x\leq 0 \\ \frac{-x^2}{4} & \mbox{se } x\ge0
\end{cases} \)
Il problema mi chiede di trovare la funzione inversa.
Si nota innanzitutto che la funzione è monotona decrescente. Quindi \(\displaystyle f \) è biiettiva. Per trovare la funzione inversa devo considerare separatamente i due casi.
Nel primo caso ho \(\displaystyle y=x^2 \) con \(\displaystyle x\leq 0 \), da cui \(\displaystyle x=\pm \sqrt y \). Quindi si ha che \(\displaystyle f^{-1}(x)=\sqrt x \) oppure \(\displaystyle f^{-1}(x)=-\sqrt x \), inoltre scrivendo la funzione inversa scambio dominio e codominio ed avrei quindi \(\displaystyle f:[0,+\infty[ \to ]-\infty,0] \), per cui da già da questo mi accordo che deve essere \(\displaystyle f^{-1}(x)=-\sqrt x\) il cui grafico giace però nel quarto quadrante.
Ho un dubbio, non si dovrebbe avere che il grafico di \(\displaystyle f(x) \) ed \(\displaystyle f^{-1}(x) \) siano simmetrici rispetto alla bisettrice del quadrante? In questo caso non lo sono.
Nella seconda parte ci sono gli stessi dubbi.
\(\displaystyle f(x)=\begin{cases} x^2 & \mbox{se }x\leq 0 \\ \frac{-x^2}{4} & \mbox{se } x\ge0
\end{cases} \)
Il problema mi chiede di trovare la funzione inversa.
Si nota innanzitutto che la funzione è monotona decrescente. Quindi \(\displaystyle f \) è biiettiva. Per trovare la funzione inversa devo considerare separatamente i due casi.
Nel primo caso ho \(\displaystyle y=x^2 \) con \(\displaystyle x\leq 0 \), da cui \(\displaystyle x=\pm \sqrt y \). Quindi si ha che \(\displaystyle f^{-1}(x)=\sqrt x \) oppure \(\displaystyle f^{-1}(x)=-\sqrt x \), inoltre scrivendo la funzione inversa scambio dominio e codominio ed avrei quindi \(\displaystyle f:[0,+\infty[ \to ]-\infty,0] \), per cui da già da questo mi accordo che deve essere \(\displaystyle f^{-1}(x)=-\sqrt x\) il cui grafico giace però nel quarto quadrante.
Ho un dubbio, non si dovrebbe avere che il grafico di \(\displaystyle f(x) \) ed \(\displaystyle f^{-1}(x) \) siano simmetrici rispetto alla bisettrice del quadrante? In questo caso non lo sono.
Nella seconda parte ci sono gli stessi dubbi.
Risposte
Certo devono essere simmetrici rsp. alla bisettrice.
Intanto il dominio della f. diretta è tutto $RR$, come pure l'immagine.
Ti perdi un po' in un bicchier d'acqua, alla fine ti dovrebbe venire:
$f(x)={(2\sqrt(-x), x \le 0),(-\sqrt(x), x>0):}$
Intanto il dominio della f. diretta è tutto $RR$, come pure l'immagine.
Ti perdi un po' in un bicchier d'acqua, alla fine ti dovrebbe venire:
$f(x)={(2\sqrt(-x), x \le 0),(-\sqrt(x), x>0):}$
In verità a me verrebbe:
\(\displaystyle f^{-1}(x)=\begin{cases} \sqrt{-x} & \mbox{se }x\leq 0 \\ -2\sqrt x & \mbox{se } x\ge0 \end{cases} \)
\(\displaystyle f^{-1}(x)=\begin{cases} \sqrt{-x} & \mbox{se }x\leq 0 \\ -2\sqrt x & \mbox{se } x\ge0 \end{cases} \)
Disegna il grafico, vedi se sono simmetrici...
Sì, sono simmetrici.
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