Funzione integrale

[E-3131]

Salve a tutti. Ho un problema con lo studio della funzione integrale. La funzione in questione è: $ F(x)=int_(0)^(x) (e^t -1)/(e^(2t)+1) dt $ , sono consapevole del fatto che in questo caso è facile arrivare all'espressione analitica di F(x), ma la traccia richiede lo studio senza determinare l'espressione analitica. Ho calcolato il dominio che è tutto $ RR $ , studiando la positività sono riuscito a capire che $ F(x)>0 $ per $ x>0 $ , adesso per $ x<0 $ non riesco a giustificarmi il fatto che $ F(x)>0 $ di nuovo. La funzione integranda , ovvero $ F'(x) $ è decrescente per $ x<0 $ ed essendo $ x=0 $ un punto di minimo per $ F(x) $ , essa deve decrescere, quindi venire da un valore positivo. Ho provato a fare il ragionamento con l'area, ma non ci sono riuscito. Poi ho cercato di determinare se $ F(x) $ diverge o converge per $ x\rightarrow -\infty $ , ho cercato di usare il confronto asintotico, ho costruito una funzione asintotica per $ x\rightarrow -\infty $ che è: $ h(x)=(-x^2+1)/(x^2+1) $ , però non so se il ragionamento è giusto. Integrata h(x) con l'estremo inferiore tendente a $ -infty $, ed è uscito che l'integrale è divergente, quindi anche F(x) per $ x\rightarrow -\infty $ sarà divergente. A me il ragionamento sembra un po' sbagliato.
Ho letto e riletto la dispensa sulla funzione integrale, ma ancora non riesco a capire come determinare in modo appropriato il dominio. La prima cosa che vorrei sapere, il ragionamento con l'asintotico è corretto o sbagliato e com'è si arriva a determinare la positività e la negatività facendo il ragionamento con l'area di $ f(t) $ ?
Grazie, ciao.

[@melia]

Ciao E-313, benvenuto nel forum. Mi spiace di dover cominciare con una strigliatina:
ho cancellato il tuo "up", leggi il regolamento del forum, nella striscia rosa in testa al messaggio, è vietato richiamare i propri messaggi prima che siano passate 24 ore.

[E-3131]

Scusami, l'avevo letto diverse settimane fa, ma non ci ho fatto caso a questa regola. La prossima volta che posto, lo leggerò con più attenzione.

[@melia]

Scusato.

Per la tua domanda relativa al segno di $F(x)$ devi tener conto del fatto che quando $x<0$ l'integrale
$ F(x)=int_(0)^(x) (e^t -1)/(e^(2t)+1) dt $ può essere scritto come $ F(x)= - int_(x)^(0) (e^t -1)/(e^(2t)+1) dt $ proprio perché l'estremo inferiore di integrazione è minore di $0$. Ovvero, ragionando con l'area, avrai l'altezza negativa, ma stai percorrendo la base in senso inverso, quindi $- * - = +$

Per aiutarti con il resto ho bisogno di un po' di tempo, che al momento non ho.

[E-3131]

Fin qui è chiaro, grazie

[E-3131]

Up