Funzione iniettiva e suriettiva

[abaco90]

Ciao a tutti,

ho un problema con questa funzione $ f(x) = (x+3)(x^2+1) $ e devo stabilire se è iniettiva e suriettiva.

Per quanto riguarda l'iniettività, è iniettiva se $ f(x1) = f(x2) -> x1 = x2 $ quindi avrò che

$ (x1+3)(x1^2+1) = (x2+3)(x2^2+1) $

$x1^3 + 3x1^2 + x1 = x2^3 + 3x2^2 + x2$

$x1 * (x1^2 +3x1 + 1) = x2 * (x2^2 +3x2 + 1) $ e qui mi blocco e non so come fare.

Per provare la suriettività devo invece porre $ f(x) = y $ quindi ho $ x^3 + 3x^2 + x = y - 3 $ e anche qui non so come andare avanti.

Come faccio?? Grazie!!

[Studente Anonimo]

$[(x_1+3)(x_1^2+1)=(x_2+3)(x_2^2+1)] rarr$

$rarr [x_1^3+x_1+3x_1^2=x_2^3+x_2+3x_2^2=0] rarr$

$rarr [x_1^3-x_2^3+3x_1^2-3x_2^2+x_1-x_2=0] rarr$

$rarr [(x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)+3(x_1-x_2)(x_1+x_2)+x_1-x_2=0] rarr$

$rarr [(x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2+3x_1+3x_2+1)=0] rarr$

$rarr [x_1-x_2=0] vv [x_1^2+x_1x_2+x_2^2+3x_1+3x_2+1=0] rarr$

$rarr [x_1=x_2] vv [x_1^2+x_1x_2+x_2^2+3x_1+3x_2+1=0]$

Se è iniettiva, la seconda equazione non deve ammettere soluzioni.

[abaco90]

Grazie per la risposta, ma non ho capito il raccoglimento che hai fatto nel terzo e quarto passaggio
Per la suriettività?

[Studente Anonimo]

"abaco90":
... non ho capito il raccoglimento che hai fatto nel terzo e quarto passaggio ...

Differenza di cubi e differenza di quadrati. Ad ogni modo, la funzione non è iniettiva:

$[x_1^2+x_1x_2+x_2^2+3x_1+3x_2+1=0] rarr$

$rarr [x_1^2+(x_2+3)x_1+x_2^2+3x_2+1=0] rarr$

$rarr [x_1=(-x_2-3+-sqrt(-3x_2^2-6x_2+5))/2] ^^ [-1-2/3sqrt6 lt= x_2 lt= -1+2/3sqrt6]$

[abaco90]

Grazie Tem della risposta, ma il mio testo afferma che la funzione è iniettiva.

Inoltre, in questo passaggio

"TeM": \[ x_1^3 + x_1 + 3\,x_1^2 + 3 = x_2^3 + x_2 + 3\,x_2^2 + 3 \; \; \Leftrightarrow \; \; (x_1 - x_2)\left(x_1^2 + x_1\,x_2 + x_2^2 + 3\,x_1 + 3\,x_2 + 1 \right) = 0 \]

non posso dividere per $ (x1^2 + x1x2 +x2^2 + 3x1 + 3x2 + 1) $ entrambi i membri così mi rimane $ x1 = x2 $ ??