Funzione iniettiva dubbi

[docmpg]

Ho alcuni dubbi su discorso di iniettività di una funzione.
Perche' questa
$y=x^3+1$ è iniettiva

mentre questa non lo è?

$y=x^2-1$

[Obidream]

Devi verificarlo con la definizione, prova a fare i conti usandola

$AA x_1, x_2 in dom(f)$ con $x_1 != x_2$ si ha che: $f(x_1) != f(x_2)$

[alessandro.de.social]

Dalla definizione di funzione iniettiva: "Data la funzione $ f: A \rightarrow B $ essa è iniettiva sul dominio $ A $ se $ AA a_1,a_2 \in A $ con $ a_1 \ne a_2 $ si ha $ f(a_1) \ne f(a_2) $ "

La funzione $ y=x^2-1 $ non è iniettiva perché esistono almeno due elementi diversi del dominio a cui corrisponde uno stesso elemento del codominio (Ad esempio per $ a_1=-1 $ e $ a_2=1 $ ottieni $ f(a_1)=(-1)^2-1=0 $ e $ f(a_2)=(1)^2-1=0 $ ovvero $ f(a_1)=f(a_2) $ con $ a_1 \ne a_2 $
Inoltre, osserva che la seconda è l'equazione di una parabola. Dai grafici ti sarà più chiaro perché la prima sia iniettiva e la seconda no:

Equivalentemente, si può dire che $ f $ è iniettiva sul dominio $ A $ se, dati $ a_1,a_2 \in A $ , $ f(a_1)=f(a_2) \implies a_1=a_2 $

Dimostriamo che $ f(x)=x^3+1 $ è iniettiva:

Il dominio della funzione è $ R $, quindi considero $ x_1,x_2 \in R $ tali che $ f(x_1)=f(x_2) $ . Devo dimostrare che ciò implica che $ x_1=x_2 $ :
$ f(x_1)=f(x_2) $
$ x_1^3+1=x_2^3+1 $ cioè
$ x_1^3=x_2^3 $ ma ciò è vero solo se
$ x_1=x_2 $

Dimostriamo che $ g(x)=x^2-1 $ non è iniettiva:

Il dominio della funzione è $ R $, quindi considero $ x_1,x_2 \in R $ tali che $ g(x_1)=g(x_2) $ . Devo dimostrare che ciò NON implica che $ x_1=x_2 $ :
$ g(x_1)=g(x_2) $
$ x_1^2-1=x_2^2-1 $ cioè
$ x_1^2=x_2^2 $ ma ciò è vero se $ x_1=x_2 $ e anche se $ x_1=-x_2 $ Allora $ g(x_1)=g(x_2) $ non implica $ x_1=x_2 $

[gugo82]

Attenzione, ragazzi!
Se nessuno si prende la briga di segnalare esplicitamente il dominio ed il codominio delle due funzioni, non si può dire nulla sulla loro iniettività.

Ad esempio, le funzioni sono entrambe iniettive se considerate come applicazioni di $NN$ in $ZZ$, ma non lo sono entrambe come applicazioni di $ZZ$ in sé (perché $x^2-1$ non lo è).

Analogamente, la funzione $x^3+1$ non è iniettiva se si considera come funzione di $ZZ_4$ in sé.
(Ma questo è un po' più difficile...)

Quando lavorate con le funzioni dovete specificare sempre dominio è codominio!

[docmpg]

"Alexandros543":Dalla definizione di funzione iniettiva: "Data la funzione $ f: A \rightarrow B $ essa è iniettiva sul dominio $ A $ se $ AA a_1,a_2 \in A $ con $ a_1 \ne a_2 $ si ha $ f(a_1) \ne f(a_2) $ "

La funzione $ y=x^2-1 $ non è iniettiva perché esistono almeno due elementi diversi del dominio a cui corrisponde uno stesso elemento del codominio (Ad esempio per $ a_1=-1 $ e $ a_2=1 $ ottieni $ f(a_1)=(-1)^2-1=0 $ e $ f(a_2)=(1)^2-1=0 $ ovvero $ f(a_1)=f(a_2) $ con $ a_1 \ne a_2 $
Inoltre, osserva che la seconda è l'equazione di una parabola. Dai grafici ti sarà più chiaro perché la prima sia iniettiva e la seconda no:

Equivalentemente, si può dire che $ f $ è iniettiva sul dominio $ A $ se, dati $ a_1,a_2 \in A $ , $ f(a_1)=f(a_2) \implies a_1=a_2 $

Dimostriamo che $ f(x)=x^3+1 $ è iniettiva:

Il dominio della funzione è $ R $, quindi considero $ x_1,x_2 \in R $ tali che $ f(x_1)=f(x_2) $ . Devo dimostrare che ciò implica che $ x_1=x_2 $ :
$ f(x_1)=f(x_2) $
$ x_1^3+1=x_2^3+1 $ cioè
$ x_1^3=x_2^3 $ ma ciò è vero solo se
$ x_1=x_2 $

Dimostriamo che $ g(x)=x^2-1 $ non è iniettiva:

Il dominio della funzione è $ R $, quindi considero $ x_1,x_2 \in R $ tali che $ g(x_1)=g(x_2) $ . Devo dimostrare che ciò NON implica che $ x_1=x_2 $ :
$ g(x_1)=g(x_2) $
$ x_1^2-1=x_2^2-1 $ cioè
$ x_1^2=x_2^2 $ ma ciò è vero se $ x_1=x_2 $ e anche se $ x_1=-x_2 $ Allora $ g(x_1)=g(x_2) $ non implica $ x_1=x_2 $

Scusa ma mettiamo che non ho il grafico (li' capisco benissimo la differenza) ma perchè questa
$y=x^3+1$
è iniettiva non riesco a capirlo .
In pratica sarebbe cosi?
Per $ x_1=-1 $ e $ x_2=1 $ ottieni $ f(x_1)=(-1)^3-1=-2 $ e $ f(x_2)=(1)^3-1=0 $ ovvero $ f(x_1)\ne f(x_2) $ con $ x_1 \ne x_2 $ quindi cosi' è non è iniettiva giusto?

Ma in questa
$y=x^3+1$
Se $ x_1=-1 $ e $ x_2=1$ avremo $ f(x_1)=(-1)^3=-1 $ e $ f(x_2)=(1)^3=1$
quindi anche qui $ x_1 \ne x_2 $ e mi verrebbe da dire che non è iniettiva....

[alessandro.de.social]

"mpg":Scusa ma mettiamo che non ho il grafico (li' capisco benissimo la differenza) ma perchè questa
$y=x^3+1$
è iniettiva non riesco a capirlo .
In pratica sarebbe cosi?
Per $ x_1=-1 $ e $ x_2=1 $ ottieni $ f(x_1)=(-1)^3-1=-2 $ e $ f(x_2)=(1)^3-1=0 $ ovvero $ f(x_1)\ne f(x_2) $ con $ x_1 \ne x_2 $ quindi cosi' è iniettiva giusto?

L'iniettività di $x^3+1$ la dimostri come ho fatto nel messaggio precedente. Visto che è iniettiva, qualsiasi coppia di elementi del dominio tu prenda, i valori corrispondenti saranno sempre diversi. (E infatti, dal tuo esempio, $f(x_1)\nef(x_2)$)

"mpg":Ma in questa
$y=x^3$
Se $ x_1=-1 $ e $ x_2=1$ avremo $ f(x_1)=(-1)^3=-1 $ e $ f(x_2)=(1)^3=1$
quindi anche qui $ x_1 \ne x_2 $ e mi verrebbe da dire che non è iniettiva....

Perché non è iniettiva? $x_1\nex_2$ e $f(x_1)\nef(x_2)$ (non sarebbe iniettiva se $f(x_1)=f(x_2)$, come nel caso di $x^2-1$)

[docmpg]

"Alexandros543":[quote="mpg"]Scusa ma mettiamo che non ho il grafico (li' capisco benissimo la differenza) ma perchè questa
$y=x^3+1$
è iniettiva non riesco a capirlo .
In pratica sarebbe cosi?
Per $ x_1=-1 $ e $ x_2=1 $ ottieni $ f(x_1)=(-1)^3-1=-2 $ e $ f(x_2)=(1)^3-1=0 $ ovvero $ f(x_1)\ne f(x_2) $ con $ x_1 \ne x_2 $ quindi cosi' è iniettiva giusto?

L'iniettività di $x^3+1$ la dimostri come ho fatto nel messaggio precedente. Visto che è iniettiva, qualsiasi coppia di elementi del dominio tu prenda, i valori corrispondenti saranno sempre diversi. (E infatti, dal tuo esempio, $f(x_1)\nef(x_2)$)

"mpg":Ma in questa
$y=x^3$
Se $ x_1=-1 $ e $ x_2=1$ avremo $ f(x_1)=(-1)^3=-1 $ e $ f(x_2)=(1)^3=1$
quindi anche qui $ x_1 \ne x_2 $ e mi verrebbe da dire che non è iniettiva....

Perché non è iniettiva? $x_1\nex_2$ e $f(x_1)\nef(x_2)$ (non sarebbe iniettiva se $f(x_1)=f(x_2)$, come nel caso di $x^2-1$)[/quote]


In pratica nella non iniettività puoi avere lo stesso valore di y con due valori diversi di x, nell'iniettività si hanno valori diversi di y per valori differenti di x , è cosi?

[alessandro.de.social]

@mpg Esatto!