Funzione goniometrica

[Angel0305]

Se ho un'area $ S=(a^2)/6 (4sin^2 x + 3cosx sinx) $ come faccio a graficarla?
ho pensato di imporre a=1 e poi sviluppandola mi viene $ f(x)= 1/6(4-4cos^2x +3cosxsinx) $ ma non so come graficarla .
grazie in anticipo

[donald_zeka]

Prova usando le seguenti relazioni:
$2sinxcosx=sin2x$
$2cos^2x=cos2x+1$

Ottieni:

$f(x)=(2-2cos2x+(3sin2x)/2)/6$=

=$(4-4cos2x+3sin2x)/12$

[Angel0305]

Il mio problema però è graficarla...non saprei proprio come fare

[giammaria2]

Occorre che i coefficienti di seno e coseno diano $1$ quando sono elevati a quadrato e sommati; scriviamo quindi
$f(x)=4/12+5/12(3/5sin2x-4/5cos2x)$
Preso ora l'angolo $alpha$ per cui si ha $cos alpha=3/5;sin alpha=4/5$ (in radianti, $alpha=0,64...$) otteniamo
$f(x)=1/3+5/12(cosalphasin2x-sinalphacos2x)=1/3+5/12sin(2x-alpha)$
Il grafico è quindi una sinusoide dilatata e traslata e ti basta trovarne alcuni punti chiave, ad esempio quelli per cui il seno vale $1$ o $-1$.

[Angel0305]

$ f(x)=4/12+5/12(3/5sin2x−4/5cos2x) $ come sei arrivato a questo punto?

[giammaria2]

Ho scritto a parte il termine noto $4/12$; ho poi notato che, a parte il denominatore ed i segni, i coefficienti di seno e coseno erano $3$ e $4$. Ho quindi moltiplicato e diviso per $sqrt(3^2+4^2)=5$, ottenendo la formula scritta; è quella che volevo perché
$(3/5)^2+(4/5)^2=1$
e quindi posso considerare quei coefficienti come seno e coseno di uno stesso angolo.

Aggiungo un altro esempio: scrivere come un unico seno
$f(x)=2sinx+3cosx$
Calcolo $sqrt(2^2+3^2)=sqrt13$ e scrivo
$f(x)=sqrt13(2/sqrt13sinx+3/sqrt13cosx)$
Posto ora $cosalpha=2/sqrt13;sinalpha=3/sqrt13$ (si ha circa $alpha=0,98$ radianti) ottengo
$f(x)=sqrt13(cosalphasinx+sinalphacosx)=sqrt13sin(x+alpha)$

A seconda della comodità e dello scopo che mi prefiggo, posso anche porre $cosalpha=3/sqrt13;sinalpha=2/sqrt13$ (si ha circa $alpha=0,59$ radianti); ho allora
$f(x)=sqrt13(sinalphasinx+cosalphacosx)=sqrt13cos(x-alpha)$

[donald_zeka]

Quella citata da giammaria è un effetti una regola generale per disegnare equazioni del tipo $f(x)=acosx+bsinx$, mettendo in evidenza forzata un $sqrt(a^2+b^2)$ ottieni: $f(x)=sqrt(a^2+b^2)(a/(sqrt(a^2+b^2))cosx+b/sqrt(a^2+b^2)sinx)$
Dovrebbe essere citata nel tuo libro di matematica.