Funzione esponenziale punti di flesso
salve,
ho la seguente funzione:
$|x|*e^(1/(x^2-4))$
finora ho considerato solo la $x>0$ quindi ottengo la funzione:
$x*e^(1/(x^2-4))$
ho trovato (penso correttamente):
dominio: $x!= pm4$
non ci intersezioni con gli assi cartesiani;
asintoto verticale: $x=4, x=-4$;
non ci sono asintoti orizzontali;
non ci sono asintoti obliqui;
studio del segno: segno meno per $x<0$, segno più per $x>0$
ho trovato dei massimi e dei minimi: max relativo = $sqrt(2)$, minimo relativo = $sqrt(3)$
se fin qua penso vada bene (forse).
La derivata prima della funzione dovrebbe essere questa:
$e^(1/(x^2-4))*(x^4-10x^2+16)/(x^2-4)^2$
e l'ho posto maggiore di zero per trovare max e min e crescenza e decrescenza...
non riesco a completare correttamente la derivata seconda e in nessun modo a trovare la concavità e i punti di flesso.
potreste cortesemente darmi un aiuto? come devo procedere?
è un mio errore nella derivata prima oppure invece della derivata seconda esistono altri metodi?
mille grazie.
ho la seguente funzione:
$|x|*e^(1/(x^2-4))$
finora ho considerato solo la $x>0$ quindi ottengo la funzione:
$x*e^(1/(x^2-4))$
ho trovato (penso correttamente):
dominio: $x!= pm4$
non ci intersezioni con gli assi cartesiani;
asintoto verticale: $x=4, x=-4$;
non ci sono asintoti orizzontali;
non ci sono asintoti obliqui;
studio del segno: segno meno per $x<0$, segno più per $x>0$
ho trovato dei massimi e dei minimi: max relativo = $sqrt(2)$, minimo relativo = $sqrt(3)$
se fin qua penso vada bene (forse).
La derivata prima della funzione dovrebbe essere questa:
$e^(1/(x^2-4))*(x^4-10x^2+16)/(x^2-4)^2$
e l'ho posto maggiore di zero per trovare max e min e crescenza e decrescenza...
non riesco a completare correttamente la derivata seconda e in nessun modo a trovare la concavità e i punti di flesso.
potreste cortesemente darmi un aiuto? come devo procedere?
è un mio errore nella derivata prima oppure invece della derivata seconda esistono altri metodi?
mille grazie.
Risposte
non so se la derivata prima stia bene o meno.
posto qui la derivata seconda e vediamo se riusciamo a capire dove sta il problema.
$y'' = e^(1/(x^2-4))*(-2x)/(x^2-4)^2*(x^4-10x^2+16)/(x^2-4)^2+e^(1/(x^2-4))[((4x^3-20x)(x^2-4)^2-(x^4-10x^2+16)2(x^2-4)*2x)/(x^2-4)^4]=$
avendola impostata in questo modo ottengo la seguente:
$=e^(1/(x^2-4))*[(-4x^7+58x^5-280x^3+336x)/(x^2-4)^4]$
solo che non credo sia giusta. potreste aiutarmi a trovare dove sbaglio?
mille grazie ancora.
posto qui la derivata seconda e vediamo se riusciamo a capire dove sta il problema.
$y'' = e^(1/(x^2-4))*(-2x)/(x^2-4)^2*(x^4-10x^2+16)/(x^2-4)^2+e^(1/(x^2-4))[((4x^3-20x)(x^2-4)^2-(x^4-10x^2+16)2(x^2-4)*2x)/(x^2-4)^4]=$
avendola impostata in questo modo ottengo la seguente:
$=e^(1/(x^2-4))*[(-4x^7+58x^5-280x^3+336x)/(x^2-4)^4]$
solo che non credo sia giusta. potreste aiutarmi a trovare dove sbaglio?
mille grazie ancora.
"bla99hf":
ho trovato (penso correttamente):
dominio: $x!= pm4$
Veramente è $\text{dom}f=\mathbb{R}\setminus\{\pm2}$
"bla99hf":
non ci intersezioni con gli assi cartesiani;
Sicuro/a? $x=0 \implies |x|\cdot\text{exp}(\frac{1}{x^{2}-4})=0\cdot\text{exp}(-\frac{1}{4})=0$.
"bla99hf":
asintoto verticale: $x=4, x=-4$;
Da correggere perché il dominio non è quello che credevi.
$y^'=e^(1/(x^2-4))*(1-(2x^2)/(x^2-4)^2)
"bla99hf":
studio del segno: segno meno per $x<0$, segno più per $x>0$
Ma veramente la funzione modulo è definita positiva e lo stesso vale per l'esponenzile, quindi non credo sia possibile tirare fuori qualche elemento di $\mathbb{R}^{-}$.
$y^''=(2xe^(1/(x^2-4))(x^4+10x^2-48))/(x^2-4)^4
pertanto:
$y^('')=0 <=> x=0,x=+-sqrt(sqrt73-5)
$y^('')=0 <=> x=0,x=+-sqrt(sqrt73-5)
La funzione risulta essere convessa in: $x$$inRR:$ $(-infty,-sqrt(sqrt73-5))U(0,sqrt(sqrt73-5))
concava in $(-sqrt(sqrt73-5),0)U(sqrt(sqrt73-5),+infty)
concava in $(-sqrt(sqrt73-5),0)U(sqrt(sqrt73-5),+infty)
Ma veramente la funzione modulo è definita positiva e lo stesso vale per l'esponenzile, quindi non credo sia possibile tirare fuori qualche elemento di ℝ-.
Quindi dovrei in teoria considerare le funzioni in questo modo:
${(x>0),(x*e^(1/(x^2-4))):}$
${(x<0),(-x*e^(1/(x^2-4))):}$
quindi ad esempio per lo studio del segno per $x>0$ tutte le soluzioni negative non possono essere considerate se consideriamo il sistema sopra citato...
"Andre@":
$y^{\prime}'=(2xe^(1/(x^2-4))(x^4+10x^2-48))/(x^2-4)^4
"bla99hf":
non so se la derivata prima stia bene o meno.
posto qui la derivata seconda e vediamo se riusciamo a capire dove sta il problema.
$y'' = e^(1/(x^2-4))*(-2x)/(x^2-4)^2*(x^4-10x^2+16)/(x^2-4)^2+e^(1/(x^2-4))[((4x^3-20x)(x^2-4)^2-(x^4-10x^2+16)2(x^2-4)*2x)/(x^2-4)^4]=$
avendola impostata in questo modo ottengo la seguente:
$=e^(1/(x^2-4))*[(-4x^7+58x^5-280x^3+336x)/(x^2-4)^4]$
solo che non credo sia giusta. potreste aiutarmi a trovare dove sbaglio?
mille grazie ancora.
cortesemente mi direste nel mio passaggio di derivazione dove ho sbagliato?
andre@ pone y''=0 per trovare la convessità. Perchè non è giusto porla maggiore di zero?
grazie ancora.
"bla99hf":Ma veramente la funzione modulo è definita positiva e lo stesso vale per l'esponenzile, quindi non credo sia possibile tirare fuori qualche elemento di ℝ-.
Quindi dovrei in teoria considerare le funzioni in questo modo:
${(x>0),(x*e^(1/(x^2-4))):}$
${(x<0),(-x*e^(1/(x^2-4))):}$
quindi ad esempio per lo studio del segno per $x>0$ tutte le soluzioni negative non possono essere considerate se consideriamo il sistema sopra citato...
Non serve. La funzione modulo è sempre non negativa. La funzione esponenziale è sempre positiva. Il prodotto di una roba sempre positiva per una mai negativa è $>=0$.
andre@ pone y''=0 per trovare la convessità. Perchè non è giusto porla maggiore di zero?
Si.certamente
con $y^('')=0$ ho trovato i punti di flesso;
con la disequazione ho studiato la convessità
Si.certamente
con $y^('')=0$ ho trovato i punti di flesso;
con la disequazione ho studiato la convessità
La funzione modulo è sempre non negativa
potresti spiegarti meglio? questa è una di quelle lacune che ancora mi porto dietro...
per definizione è giusto il seguente? :
$|x| = {(x, x>=0),(-x, x<0):}
se è sempre non negativa, perchè si considera $-x, x<0$
così nelle funzioni:
${(x>0),(x*e^(1/(x^2-4))):}$
${(x<0),(-x*e^(1/(x^2-4))):}$
la seconda può anche assumere valori negativi... ad esempio $per x= +3$ la funzione non diventa negativa?
(mentre se considero -3 diventa positiva)
potreste darmi questa delucidazione?
mille grazie.
La funzione modulo l'hai definita correttamente. L'assegnazione è
$|x|={(x \ \ \ "se" \ \ \ x>=0),(-x \ \ \ "se" \ \ \ x<0):}$
Questa definizione ti dice che se $x \in \mathbb{R}_{0}^{+}$, allora il suo modulo è $x$ stesso, mentre se $x \in \mathbb{R}^{-}$ il suo modulo è il suo opposto, i.e. $-x \in \mathbb{R}^{+}$: quindi la funzione modulo è sempre non negativa.
Nelle due "funzioni" che hai scritto, il problema formale è che non sono delle funzioni. Quelli sono due sistemi, quindi significano tutt'altra cosa. Suppongo che tu volessi riscrivere la funzione della traccia spezzandola a seconda del segno dell'argomento del modulo; in tal caso, detta $f$ la funzione che manda $x$ in $|x|"exp"(\frac{1}{x^{2} - 4})$ (i.e. la funzione della traccia), la si spezza così:
$f : x \rightarrow {(x"exp"(\frac{1}{x^{2}-4}) \ \ \ "se" \ \ \ x>=0),(-x"exp"(\frac{1}{x^{2}-4}) \ \ \ "se" \ \ \ x<0):}$
sicché per $x=+3$ si è nel caso $x>=0$ e risulta $f(x)=3"exp"(\frac{1}{5})=3\root{5}{e}>0$.
$|x|={(x \ \ \ "se" \ \ \ x>=0),(-x \ \ \ "se" \ \ \ x<0):}$
Questa definizione ti dice che se $x \in \mathbb{R}_{0}^{+}$, allora il suo modulo è $x$ stesso, mentre se $x \in \mathbb{R}^{-}$ il suo modulo è il suo opposto, i.e. $-x \in \mathbb{R}^{+}$: quindi la funzione modulo è sempre non negativa.
Nelle due "funzioni" che hai scritto, il problema formale è che non sono delle funzioni. Quelli sono due sistemi, quindi significano tutt'altra cosa. Suppongo che tu volessi riscrivere la funzione della traccia spezzandola a seconda del segno dell'argomento del modulo; in tal caso, detta $f$ la funzione che manda $x$ in $|x|"exp"(\frac{1}{x^{2} - 4})$ (i.e. la funzione della traccia), la si spezza così:
$f : x \rightarrow {(x"exp"(\frac{1}{x^{2}-4}) \ \ \ "se" \ \ \ x>=0),(-x"exp"(\frac{1}{x^{2}-4}) \ \ \ "se" \ \ \ x<0):}$
sicché per $x=+3$ si è nel caso $x>=0$ e risulta $f(x)=3"exp"(\frac{1}{5})=3\root{5}{e}>0$.
quindi per tutti i valori $x>0$ considero la funzione $x*e^(1/(x^2-4))$
per tutti i valori negativi per $x<0$ considero invece la funzione $-x*e^(1/(x^2-4))$
moltiplicando il segno meno della x scelta con il segno meno della funzione ottengo sempre un valore positivo in emtrambi i casi....
se non erro...
per tutti i valori negativi per $x<0$ considero invece la funzione $-x*e^(1/(x^2-4))$
moltiplicando il segno meno della x scelta con il segno meno della funzione ottengo sempre un valore positivo in emtrambi i casi....
se non erro...
Esatto. Se scegli una $x$ positiva usi $x"exp"(\frac{1}{x^{2}-4})$, mentre se scegli una $x$ negativa usi $-x"exp"(\frac{1}{x^{2}-4})$: nel secondo caso avrai che "meno per meno fa più".
riguardo il discorso fatto inerente il valore assoluto,
posto qui il procedimento per trovare gli asintoti verticali,
per vedere se considero correttamente le funzioni.
per valori negativi di x ho considerato la funzione con -x
per valori positivi di x ho considerato la funzione con +x
il dominio è $x!=pm2$
è giusto pensare limite destro e sinitro dei valori esclusi dal dominio?
$lim_(x -> -2^-)-xe^(1/(x^2-4)) = 2*e^(-oo)=2*0=0$
$lim_(x -> -2^+)-xe^(1/(x^2-4)) = 2*e^(+oo)=oo \Rightarrow x=-2$ ASINTOTO VERTICALE SX
$lim_(x -> +2^-)xe^(1/(x^2-4)) = 2*e^(-oo)=2*0=0$
$lim_(x -> +2^+)xe^(1/(x^2-4)) = 2*e^(+oo)=oo \Rightarrow x=+2$ ASINTOTO VERTICALE DX
è giusto tutto questo che ho fatto?
mille grazie
posto qui il procedimento per trovare gli asintoti verticali,
per vedere se considero correttamente le funzioni.
per valori negativi di x ho considerato la funzione con -x
per valori positivi di x ho considerato la funzione con +x
il dominio è $x!=pm2$
è giusto pensare limite destro e sinitro dei valori esclusi dal dominio?
$lim_(x -> -2^-)-xe^(1/(x^2-4)) = 2*e^(-oo)=2*0=0$
$lim_(x -> -2^+)-xe^(1/(x^2-4)) = 2*e^(+oo)=oo \Rightarrow x=-2$ ASINTOTO VERTICALE SX
$lim_(x -> +2^-)xe^(1/(x^2-4)) = 2*e^(-oo)=2*0=0$
$lim_(x -> +2^+)xe^(1/(x^2-4)) = 2*e^(+oo)=oo \Rightarrow x=+2$ ASINTOTO VERTICALE DX
è giusto tutto questo che ho fatto?
mille grazie
Direi di sì.
incontro alcuni problemi nel trovare l'asintoto obliquo.
posto qui il mio ragionamento:
$y=mx+q$
$m= lim_(x -> +oo) x*e^(1/(x^(2)-4))/(x)=1$
$m= lim_(x -> -oo) -x*e^(1/(x^(2)-4))/(x)=-1$
$q= lim_(x -> +oo) (x*e^(1/(x^(2)-4))-x) = +oo*e^(1/(+oo))-oo=+oo -oo$
divido per x (spero sia lecito) ottengo:
$q= lim_(x -> +oo) (e^(1/(x^(2)-4))-1) = e^(1/(+oo))-1 = e^(0)-1 = 1-1 = 0$
$q= lim_(x -> -oo) (-x*e^(1/(x^(2)-4))+x) = -(-oo)*e^(1/(-oo))+(-oo)=+oo-oo$
divido per x:
$q= lim_(x -> -oo) (e^(1/(x^(2)-4))+1) = e^(1/(-oo))+1=e^0+1=1+1=2
$y = x$ asintoto obliquo dx
$y = -x +2$ asintoto obliquo sx
potete dirmi se è corretto il procedimento e quindi se è corretto il risultato?
mille grazie.
posto qui il mio ragionamento:
$y=mx+q$
$m= lim_(x -> +oo) x*e^(1/(x^(2)-4))/(x)=1$
$m= lim_(x -> -oo) -x*e^(1/(x^(2)-4))/(x)=-1$
$q= lim_(x -> +oo) (x*e^(1/(x^(2)-4))-x) = +oo*e^(1/(+oo))-oo=+oo -oo$
divido per x (spero sia lecito) ottengo:
$q= lim_(x -> +oo) (e^(1/(x^(2)-4))-1) = e^(1/(+oo))-1 = e^(0)-1 = 1-1 = 0$
$q= lim_(x -> -oo) (-x*e^(1/(x^(2)-4))+x) = -(-oo)*e^(1/(-oo))+(-oo)=+oo-oo$
divido per x:
$q= lim_(x -> -oo) (e^(1/(x^(2)-4))+1) = e^(1/(-oo))+1=e^0+1=1+1=2
$y = x$ asintoto obliquo dx
$y = -x +2$ asintoto obliquo sx
potete dirmi se è corretto il procedimento e quindi se è corretto il risultato?
mille grazie.
Allora non può essere tutto giusto il calcolo degli asintoti perchè la funzione presenta una simmetria pari,
ovvero una simmetria rispetto all'asse delle ordinate $f(x)=f(-x)$ il che è facilmente verificabile
Quindi è vero che la funzione ha due asintoti obliqui, ma devono anch'essi essere simmetrici rispetto all'asse $x=0$
Un buon procedimento sarebbe notare questa simmetria già dall'inizio, il che semplifica di molto lo studio, perchè consideri solo il ramo con $x>=0$ e l'altro lo puoi tralasciare, eliminando molti dei problemi che avevi all'inizio...
Tra l'altro nella ricerca degli asintoti diventa tutto più facile perchè non hai problemi con il segno.
Per questo ti puoi facilmente accorgere che ci deve essere un errore nella ricerca degli asintoti.
Poi in effetti comunque il tuo procedimento è giusto, quindi deve portarti alle conclusioni corrette.
Io un errore lo ho individuato, è un errore molto banale, senza dirti esattamente dov'è, ti dico di riguardare il calcolo di q per x negativo.
(Ovviamente, se è giusto quel che ho detto finora, sarà lecito aspettarsi $q=0$, visto che il primo asintoto è giusto..........)
ovvero una simmetria rispetto all'asse delle ordinate $f(x)=f(-x)$ il che è facilmente verificabile
Quindi è vero che la funzione ha due asintoti obliqui, ma devono anch'essi essere simmetrici rispetto all'asse $x=0$
Un buon procedimento sarebbe notare questa simmetria già dall'inizio, il che semplifica di molto lo studio, perchè consideri solo il ramo con $x>=0$ e l'altro lo puoi tralasciare, eliminando molti dei problemi che avevi all'inizio...
Tra l'altro nella ricerca degli asintoti diventa tutto più facile perchè non hai problemi con il segno.
Per questo ti puoi facilmente accorgere che ci deve essere un errore nella ricerca degli asintoti.
Poi in effetti comunque il tuo procedimento è giusto, quindi deve portarti alle conclusioni corrette.
Io un errore lo ho individuato, è un errore molto banale, senza dirti esattamente dov'è, ti dico di riguardare il calcolo di q per x negativo.
(Ovviamente, se è giusto quel che ho detto finora, sarà lecito aspettarsi $q=0$, visto che il primo asintoto è giusto..........)
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