Funzione esponenziale

[Ryuzaky*]

Il problema è questo :

Ho le funzioni [tex]y=e^x[/tex] e [tex]y=e^{2x}[/tex], devo trovare la retta tangente alle due curve..
Ho pensato di scrivere l'equazione delle rette tangenti a ciascuna delle due curve e poi imporre che le [tex]f'(x)[/tex] devono essere uguali poi mi sono bloccato
come dovrei procedere ?[/tex]

[Seneca1]

Qual è esattamente il testo?

Facendo come hai fatto tu trovi i punti in cui le due funzioni hanno - non la stessa tangente ma - la tangente con la stessa pendenza.

[_prime_number]

L'intuizione è giusta: una retta tangente ad entrambe corrisponde alla condizione
[tex]y_1' = y_2' \to e^x = 2e^{2x}[/tex]
per risolvere questa equazione poniamo
[tex]\displaystyle e^x=t\to 2t^2 -t =0 \to t(2t-1)=0\to t_1 = 0 , t_2= \frac{1}{2}[/tex]
La prima soluzione non è accettabile ($e^x\ne 0,\forall x$) mentre la seconda sì.
Ora che hai la sua pendenza, prova a trovare l'equazione della retta... (un grafico può aiutarti)

Paola

[Ryuzaky*]

Scusate, non ho ben capito cosa rappresenta il punto [tex]e^x=1/2[/tex] quindi [tex]x=-ln(2)[/tex][/tex]

[giammaria2]

Il metodo indicato da prime_number non mi sembra corretto perché non c'è alcun motivo per supporre che i due punti di tangenza coincidano. Io ho fatto così: indicando con $P(u,e^u)$ e $Q(v, e^(2v))$ i punti di tangenza, ottengo per le tangenti le equazioni
$y=e^u*x+e^u(1-u)$
$y=2e^(2v)*x+e^(2v)(1-2v)$
e coincidono se
${(e^u=2e^(2v)),(e^u(1-u)=e^(2v)(1-2v)):}$
Per risolvere il sistema ho cominciato a sostituire la $e^u$ ricavata dalla prima equazione nella seconda, in modo da poter semplificare gli esponenziali; poi ho ricavato un'incognita in funzione dell'altra ed ho fatto i calcoli rimanenti. Le mie soluzioni sono
$P(1-ln2, e/2)$ e $Q(1/2-ln2,e/4)$

[_prime_number]

Seneca ha ragione, mi sono sbagliata. Qual è il testo esatto del problema? Devi trovare una retta che sia tangente ad entrambe le curve?

Paola

[Ryuzaky*]

"prime_number":Seneca ha ragione, mi sono sbagliata. Qual è il testo esatto del problema? Devi trovare una retta che sia tangente ad entrambe le curve?

Paola

Ho le funzioni [tex]y=e^x[/tex] e [tex]y=e^{2x}[/tex], devo trovare la retta tangente alle due curve..

Il testo mi sembra abbastanza chiaro considerando che quello originale è :
Date le funzioni [tex]f_{1}, f_{2}[/tex] trovare la retta tangente le due curve.


Comunque ho risolto, grazie.

[gio_301]

Allora, siano $f(x)=e^x$ e $g(x)=e^(2x)$

la retta tangente in un punto $P(x_0,y_0)$ a $f(x)$ è $y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$ ed essendo $y_0=f(x_0)=e^(x_0)$
diventa $y=f'(x_0)*x+e^(x_0)-f'(x_0)*x_0$

la retta tangente in un punto $Q(x_1,y_1)$ a $g(x)$ è $y-y_1=g'(x_1)(x-x_1)$ ed essendo $y_1=g(x_1)=e^(2x_1)$
diventa $y=g'(x_1)*x+e^(2x_1)-g'(x_1)*x_1$

le due rette devono coincidere quindi eguagliamo i coefficienti angolari $m$ e le ordinate all'origine $q$
$f'(x_0)=g'(x_1)$
$e^(x_0)-f'(x_0)*x_0=e^(2x_1)-g'(x_1)*x_1$

mettiamole a sistema, considerando che $f'(x)=e^x$ e $g'(x)=2e^(2x)$

${\(e^(x_0)=2e^(2x_1)),(e^(x_0)-e^(x_0)*x_0=e^(2x_1)-2e^(2x_1)*x_1):}

${\(e^(x_0)=2e^(2x_1)),(e^(x_0)(1-x_0)=e^(2x_1)(1-2x_1)):}$

dalla prima ricaviamo $x_0$ in funzione di $x_1$
$x_0=ln(2e^(2x_1))=ln2+ln(e^(2x_1))=ln2+2x_1$

sostituendo nella seconda si ottiene
$2e^(2x_1)(1-ln2-2x_1) = e^(2x_1)(1-2x_1)$

dividiamo ambo i membri per $e^(2x_1)$ e possiamo farlo senza problemi in quanto $e^(2x_1)!=0, AAx_1 in RR$
$2(1-ln2-2x_1)=1-2x_1$
$2-2ln2-4x_1=1-2x_1$
$2x_1=1-2ln2$

e quindi
${\(x_1=1/2-ln2), (x_0=1-ln2):}$

Dunque
$f'(x_0)=e^(x_0)=e^(1-ln2)=e*e^-ln2=e*e^ln(1/2)=e/2$
$f'(x_0)=g'(x_1)=e/2$
$y_0-f'(x_0)*x_0=y_1-f'(x_1)*x_1=(e/2)*ln2$

coefficiente angolare $m=e/2$
ordinata all'origine $q=e/2*ln2$

la nostra retta sarà quindi
[size=150]$y=e/2 x+(e*ln2)/2$[/size]

[asvg]xmin=-3/2;xmax=3/2;ymin=0;ymax=3;axes("labels","grid");
stroke="red";
plot("e^x");
stroke="green";
plot("e^(2*x)");
stroke="black";
plot("(e/2)*x+(e*ln(2))/2");
text([0.4,3], "g(x)", above);
text([1,3], "f(x)", above);[/asvg]