Funzione derivabile e continua

[oltreoceano90]

scusate avrei bisogno di un aiuto con questo esercizio:

f(x) = sistema tra $sqrt(1-|x|)$ per |x|<=1
x-1 per |x|>1

so che se riesco a dimostrare che è derivabile, automaticamente è anche continua. per dire che è derivabile bisogna che il limite destro e sinistro del rapporto incrementale siano uguali, ma non riesco ad applicarlo in questo esercizio e per di più non capisco come comportarmi con il valore assoluto.
ringrazio in anticipo chi saprà spiegarmi come svolgerlo

[adaBTTLS1]

hai distinto i vari casi? i punti critici sono 3...
prova a postare quello che hai trovato. ciao.

[f.bisecco]

Nota che

$|x|<1$ allora $-1
$|x|<1$ allora $x<-1 x>1$

Scritti gli intervalli in questo modo applici la definizione di continuità che tu hai enunciato nei punti $1$ e $-1$ stando attento alla funzione da considerare nei limiti destro e sinistro nei singoli punti....

Verificata la continuità devi derivare la funzione...
Infine verifichi come fatto prima che anche la derivata sia continua...

[oltreoceano90]

ma quando considero il caso cioè -1

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[adaBTTLS1]

non rimane, ma devi distinguere il caso $-1<=x<0$ ed il caso $0<=x<=1$. è chiaro? ciao.

[oltreoceano90]

vi riporto quello che ho fatto io, ma non mi convince molto..allora..
f(x)=$\{(sqrt(1+x)),(sqrt(1-x)),(x-1):}$ la prima valida per -1<=x<0, la seconda per 0<=x<=1 e la terza per x<-1 o x>1

poi ho calcolato f(-1)=0
f(0)=1
f(1)=0

poi $\lim_{x \to \-1^-}x-1$=-2
$\lim_{x \to \-1^+}sqrt(1+x)$=0
$\lim_{x \to \0^-}sqrt(1+x)$=1
$\lim_{x \to \0^+}sqrt(1-x)$=1 è quindi continua in 0
$\lim_{x \to \1^-}sqrt(1-x)$=0
$\lim_{x \to \1^+}x-1$=0 è quindi continua in 1

poi ho calcolato le derivate

$\{(1/(2sqrt(1+x)),1/(2sqrt(1-x)),(1):}$ rispettive
poi $\lim_{x \to \-1^-}1$=1
$\lim_{x \to \-1^+}(1/(2sqrt(1+x))$=infinito
$\lim_{x \to \0^-}(1/(2sqrt(1+x))$=1/2
$\lim_{x \to \0^+}(1/(2sqrt(1-x))$=1/2 è quindi derivabile in 0
$\lim_{x \to \1^-}(1/(2sqrt(1-x))$=infinito
$\lim_{x \to \1^+}1$=1
quindi non è derivabile ne in -1 ne 1
è giusto questo esercizio fatto così?? il testo è ql del primo post

[adaBTTLS1]

la seconda derivata è sbagliata di segno: tieni conto che si tratta di funzioni composte.
fino a quel punto era tutto corretto, anche se talune volte si richiede di calcolare i limiti delle derivate attraverso i rapporti incrementali.
ricorreggendo, forse non è derivabile in 0. ricontrolla. ciao.

[oltreoceano90]

ah quindi sarebbe $-1/2sqrt(1-x)$ ?? è quindi non risulta neanche derivabile in 0


e altro dubbio non in questo esercizio, se ho
f(x)=sistema di

ln|x| per |x|<1;x diverso da 0
$x^2/2$ per x>=1
$x^2-1$ per x<=-1

è giusto considerare i casi:
ln(-x) per -1 lnx per 0 $x^2/2$ per x>=1
$x^2-1$ per x<=-1

o non devo mettere lo zero perchè il logaritmo dev'essere diverso da zero e quindi scrivere:
ln(-x) per -1 lnx per -1 $x^2/2$ per x>=1
$x^2-1$ per x<=-1
a me pare più giusta la prima ma poi per trovare se è continua calcolo f(0) e non so dove andarla a sostituire...o devo solo calcolare se continua in -1 e 1??

[adaBTTLS1]

sì, è giusta la prima serie, anche se non serve specificare diverso da zero, visto che usi la disuguaglianza stretta. f(0) non esiste, perché la funzione non è definita in zero.

ci sono state delle discussioni sul forum riguardo la "continuità" al riguardo: sappi che in 0 la funzione non è definita, per cui a maggior ragione non si può parlare di continuità in 0, ma dal punto di vista topologico nemmeno di discontinuità: trovare i limiti destro e sinistro serve comunque per altre cose, anche se i libri di testo per classificazioni di discontinuità di prima, seconda, terza specie usano "solo" i limiti, quindi solo nell'intorno del punto, non distinguendo i casi in cui la funzione è ben definità oppure no nel punto.

spero di essere stata chiara. se vuoi trovare altre discussioni (perché ce ne sono state diverse), usa la funzione "cerca". ciao.