Funzione continua
Salve a tutti.
Mostrare che $f$ è una funzione continua
$f(x)=cos(arctanx)+xsin(arctanx)$
Determinare che una funzione è continua significa determinare che è continua in tutti i punti all'interno del suo dominio, ma il mio dubbio è, come si fa praticamente?
grazie
Mostrare che $f$ è una funzione continua
$f(x)=cos(arctanx)+xsin(arctanx)$
Determinare che una funzione è continua significa determinare che è continua in tutti i punti all'interno del suo dominio, ma il mio dubbio è, come si fa praticamente?
grazie
Risposte
Questa è una funzione composta il cui dominio è tutto R.
Allora semplicemente devi controllare che le funzioni che la compongono siano continue.
(Se f è una funzione continua in un punto c e g è continua nel punto f(c), allora la funzione composta (g o f) è continua in c.)
Siccome arctanx è una funzione continua in tutto R, segue che anche cos(arctanx) e sin(arctanx) sono continue.
La somma di funzioni continue è ancora una funzione continua e il gioco è fatto.
PS. Si tratta di applicare i teoremi sulla continuità
Allora semplicemente devi controllare che le funzioni che la compongono siano continue.
(Se f è una funzione continua in un punto c e g è continua nel punto f(c), allora la funzione composta (g o f) è continua in c.)
Siccome arctanx è una funzione continua in tutto R, segue che anche cos(arctanx) e sin(arctanx) sono continue.
La somma di funzioni continue è ancora una funzione continua e il gioco è fatto.
PS. Si tratta di applicare i teoremi sulla continuità
Posso suggerire che una funzione è continua quando il $lim_(x->a) f(x) = f(a)$ ? O, che è lo stesso: $lim_(x->a) f(x) - f(a) = 0$ per ogni $x$ appartenente all'intervallo (a,b)? (Preso un $epsilon$ piccolo a piacere è sempre possibile determinare un delta tale che per ogni $x_0$ interno al delta si ha $| f(x) - f(x_0) | < epsilon$ )
Ho capito. Bene ora la seconda parte dell'esercizio dice di trovare il massimo assoluto della funzione e di mostrare che la funzione è convessa.
La derivata viene abbastanza corposa del tipo:
$f'(x)= 1/(1+x^2)*senarctanx+1senarctanx+x/(1+x^2)cosartanx$
Come si procede da qui?
La derivata viene abbastanza corposa del tipo:
$f'(x)= 1/(1+x^2)*senarctanx+1senarctanx+x/(1+x^2)cosartanx$
Come si procede da qui?
Fai un bel minimo comune multiplo..
se ti poni arctgx=y, ti viene una disequazione del tipo
$(2+x^2)seny+xcosy>0$
dato che il denominatore $1+x^2$ è sempre maggiore di 0.
Quindi devi risolvere la disequazione:
$tgy> -x/(2+x^2)$
insieme a
$cosy>0$
e la prima diventa
$tgarctgx> -x/(2+x^2)$ cioè $x> -x/(2+x^2)$
se ti poni arctgx=y, ti viene una disequazione del tipo
$(2+x^2)seny+xcosy>0$
dato che il denominatore $1+x^2$ è sempre maggiore di 0.
Quindi devi risolvere la disequazione:
$tgy> -x/(2+x^2)$
insieme a
$cosy>0$
e la prima diventa
$tgarctgx> -x/(2+x^2)$ cioè $x> -x/(2+x^2)$
"DagoC":
Ho capito. Bene ora la seconda parte dell'esercizio dice di trovare il massimo assoluto della funzione e di mostrare che la funzione è convessa.
La derivata viene abbastanza corposa del tipo:
$f'(x)= 1/(1+x^2)*senarctanx+1senarctanx+x/(1+x^2)cosartanx$
Come si procede da qui?
ricorda:
$sin(arctgx)=x/sqrt(x^2 + 1)$ e $cos(arctgx)=1/sqrt(x^2 + 1)$
questo semplifica notevolmente la derivata
$f'(x)=x/sqrt(x^2 + 1)$
"piero_":
$sin(arctgx)=x/sqrt(x^2 + 1)$ e $cos(arctgx)=1/sqrt(x^2 + 1)$
Indubbiamente si semplifica di molto.
Non conoscevo queste uguaglianze, ma come si ottengono?
"leena":
[quote="piero_"]
$sin(arctgx)=x/sqrt(x^2 + 1)$ e $cos(arctgx)=1/sqrt(x^2 + 1)$
Indubbiamente si semplifica di molto.
Non conoscevo queste uguaglianze, ma come si ottengono?[/quote]
dal mio formulario manoscritto datato 1981
proverò a cercare la dimostrazione (o a ricavarmela, vediamo)
Eh eh grazie! Appena ho un po' di tempo con la tesi ci provo anch'io!
$sin(arctgx)=siny => arctgx=y => x=tgy$
$x=siny/cosy => x^2= sin^2y/(1-sin^2y)$
si ricava
$sin^2y=x^2/(1+x^2)$
sostituendo nuovamente $y=arctgx$ abbiamo la relazione
$x=siny/cosy => x^2= sin^2y/(1-sin^2y)$
si ricava
$sin^2y=x^2/(1+x^2)$
sostituendo nuovamente $y=arctgx$ abbiamo la relazione
"piero_":
$sin(arctgx)=siny => arctgx=y => tgy=x$
$x=siny/cosy => x^2= sin^2y/(1-sin^2y)$
si ricava
$sin^2y=x^2/(1+x^2)$
sostituendo nuovamente $y=arctgx$ abbiamo la relazione
BELLO, grande! Grazie
Di niente, naturalmente non ti privo del gusto di fare l'altra dimostrazione. ciao
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