Funzione continua

[matematicus95]

considero la funzione $y=1/(x+1)$ se voglio calcolare il limite per x che tende ad infinito della funzione perchè ad x sostituisco infinito?se si tratta di una funzione continua io sostituisco $x_0$ ma perché ora sostituisco infinito?
e se una funzione ha come dominio l'intervallo (a;b) perché essa è continua in questo intervallo ?

[minomic]

Ciao, cerchiamo di mettere un po' di ordine.
Se vuoi calcolare il limite per $x$ che tende a infinito della funzione è chiaro che devi immaginare $oo$ al posto della $x$, proprio perchè stai calcolando il limite per $x -> oo$. E' praticamente una tautologia.
Per quanto riguarda la continuità è una proprietà che va verificata: è possibile che una funzione non sia continua in uno dei punti del suo dominio. Faccio un esempio molto semplice: \[f(x) = \begin{cases}1 & x\leq 0 \\ \frac{1}{x} & x > 0\end{cases}\]

[matematicus95]

come faccio a verificare la continuità di una funzione senza far riferimento ai limiti?

[minomic]

Bella domanda... Puoi pensare una cosa del genere: "riesco a disegnarla tutta senza staccare la penna dal foglio?"
Comunque tieni presenti che le funzioni polinomiali sono continue (anche molte altre funzioni sono continue) e che la somma/sottrazione di funzioni continue è continua, ecc.