Funzione composta o funzione elevata a funzione?
Ciao a tutti , rieccomi qui sempre con un dubbio sulle derivate!
$ e^(-2x) $ la tratto come una funzione composta in quanto la sua derivata è $ -2e^(-2x) $ , perchè però non va trattata come una funzione elevata ad un'altra funzione? Alla fine si tratta sempre di $ f(x)^g(x) $ quindi perchè utilizzare $ f'(g(x))\cdot g'(x) $ piuttosto che la derivata dell'elevamento a funzione?
Grazie mille
$ e^(-2x) $ la tratto come una funzione composta in quanto la sua derivata è $ -2e^(-2x) $ , perchè però non va trattata come una funzione elevata ad un'altra funzione? Alla fine si tratta sempre di $ f(x)^g(x) $ quindi perchè utilizzare $ f'(g(x))\cdot g'(x) $ piuttosto che la derivata dell'elevamento a funzione?
Grazie mille
Risposte
Supponiamo di volerla trattare come $[f(x)]^(g(x))$.
Chi è $f(x)$? E chi è $g(x)$?
Chi è $f(x)$? E chi è $g(x)$?
"gugo82":
Supponiamo di volerla trattare come $[f(x)]^(g(x))$.
Chi è $f(x)$? E chi è $g(x)$?
$ f(x) $ è $ e^(-2x) $ mentre $ g(x) $ è $ -2x $
Ahia ... quindi la tua funzione sarebbe $(e^(-2x))^(-2x)$ ... naaaa ...
"axpgn":
Ahia ... quindi la tua funzione sarebbe $(e^(-2x))^(-2x)$ ... naaaa ...
La derivata non è $ -2e^(-2x) $ ? Quindi la mia $ f(x) $ è $ e^x $
Scusa ma hai detto che la tua funzione è $F(x)=e^(-2x)$.
Gugo82 ti ha chiesto di scriverla nella forma $F(x)=[f(x)]^(g(x))$ e quindi di definire, secondo te, quali siano $f(x)$ e $g(x)$
Con le due funzioni che hai detto non giungi alla funzione iniziale che hai postato
Gugo82 ti ha chiesto di scriverla nella forma $F(x)=[f(x)]^(g(x))$ e quindi di definire, secondo te, quali siano $f(x)$ e $g(x)$
Con le due funzioni che hai detto non giungi alla funzione iniziale che hai postato
@Marco1005
$f(x)=e$
$g(x)=-2x$
se vuoi sincerarti del fatto che $F(x)=e^(-2x)$ Se tu vai a derivare con il metodo che usi per il caso $[f(x)]^(g(x))$ ti accorgi immediatamente qual'è il punto della situazione e che ti stai perdendo in un bicchier d'acqua. Sin dal primo passaggio.
$f(x)=e$
$g(x)=-2x$
se vuoi sincerarti del fatto che $F(x)=e^(-2x)$ Se tu vai a derivare con il metodo che usi per il caso $[f(x)]^(g(x))$ ti accorgi immediatamente qual'è il punto della situazione e che ti stai perdendo in un bicchier d'acqua. Sin dal primo passaggio.
E' vero che la mia $ f(x)=e $ e la mia $ g(x)=-2x $
Però il mio dubbio sta proprio nella forma iniziale :
Se è vero che la funzione è del tipo $ f(x)^g(x) $ è vero anche che la stessa definizione vale per una funzione elevata a funzione.
Anche la funzione elevata a funzione la scrivo come $ f(x)^g(x) $
Quindi non riesco bene a capire perchè non dovrei usare la formula della derivata di funzione elevata a funzione al posto della derivata di una funzione composta
So che mi sto perdendo in un bicchier d'acqua perchè di mio ho capito che si risolve utilizzando la derivata della funzione composta ma vorrei capire il perchè non devo usare la formula di derivazione di funzione elevata a funzione
Però il mio dubbio sta proprio nella forma iniziale :
Se è vero che la funzione è del tipo $ f(x)^g(x) $ è vero anche che la stessa definizione vale per una funzione elevata a funzione.
Anche la funzione elevata a funzione la scrivo come $ f(x)^g(x) $
Quindi non riesco bene a capire perchè non dovrei usare la formula della derivata di funzione elevata a funzione al posto della derivata di una funzione composta
So che mi sto perdendo in un bicchier d'acqua perchè di mio ho capito che si risolve utilizzando la derivata della funzione composta ma vorrei capire il perchè non devo usare la formula di derivazione di funzione elevata a funzione
Proviamo...
Se non ricordo male $"D"[f(x)^(g(x))] = f(x)^(g(x))*[g^\prime (x) * log f(x) + g(x) * (f^\prime (x))/(f(x))]$ e, visto che $f^\prime (x) = 0$ e $g^\prime (x) = -2$, si ha:
\[
\operatorname{D}[e^{-2x}] = e^{-2x}\cdot [-2 \log e -2x \cdot \frac{0}{e}] = -2e^{-2x}\; ,
\]
che è sempre lo stesso risultato... E bella forza: la formula di derivazione di $f(x)^(g(x))$ è una conseguenza della regola di derivazione della funzione composta (e del prodotto), quindi non può in alcun modo restituire un risultato differente!
A parte ciò, la formula per la derivazione di $f(x)^(g(x))$ è senz'altro più difficile da ricordare della regola di derivazione della funzione composta e questo dovrebbe farti sempre propendere per la scelta della seconda.
Per farti capire: è come se volessi derivare la funzione $1/x^3$ usando la regola di derivazione del quoziente (nono, non si fa!) invece che quella della potenza (che si può applicare più facilmente, dato che $1/x^3 = x^(-3)$).
Se non ricordo male $"D"[f(x)^(g(x))] = f(x)^(g(x))*[g^\prime (x) * log f(x) + g(x) * (f^\prime (x))/(f(x))]$ e, visto che $f^\prime (x) = 0$ e $g^\prime (x) = -2$, si ha:
\[
\operatorname{D}[e^{-2x}] = e^{-2x}\cdot [-2 \log e -2x \cdot \frac{0}{e}] = -2e^{-2x}\; ,
\]
che è sempre lo stesso risultato... E bella forza: la formula di derivazione di $f(x)^(g(x))$ è una conseguenza della regola di derivazione della funzione composta (e del prodotto), quindi non può in alcun modo restituire un risultato differente!
A parte ciò, la formula per la derivazione di $f(x)^(g(x))$ è senz'altro più difficile da ricordare della regola di derivazione della funzione composta e questo dovrebbe farti sempre propendere per la scelta della seconda.
Per farti capire: è come se volessi derivare la funzione $1/x^3$ usando la regola di derivazione del quoziente (nono, non si fa!) invece che quella della potenza (che si può applicare più facilmente, dato che $1/x^3 = x^(-3)$).
"gugo82":
Proviamo...
Se non ricordo male $"D"[f(x)^(g(x))] = f(x)^(g(x))*[g^\prime (x) * log f(x) + g(x) * (f^\prime (x))/(f(x))]$ e, visto che $f^\prime (x) = 0$ e $g^\prime (x) = -2$, si ha:
\[
\operatorname{D}[e^{-2x}] = e^{-2x}\cdot [-2 \log e -2x \cdot \frac{0}{e}] = -2e^{-2x}\; ,
\]
che è sempre lo stesso risultato... E bella forza: la formula di derivazione di $f(x)^(g(x))$ è una conseguenza della regola di derivazione della funzione composta (e del prodotto), quindi non può in alcun modo restituire un risultato differente!
A parte ciò, la formula per la derivazione di $f(x)^(g(x))$ è senz'altro più difficile da ricordare della regola di derivazione della funzione composta e questo dovrebbe farti sempre propendere per la scelta della seconda.
Per farti capire: è come se volessi derivare la funzione $1/x^3$ usando la regola di derivazione del quoziente (nono, non si fa!) invece che quella della potenza (che si può applicare più facilmente, dato che $1/x^3 = x^(-3)$).
Accidenti, bella risposta!!!grazie Gugo, non avevo proprio pensato al fatto che fossero collegate! Effettivamente l'esempio del quoziente che hai citato rende benissimo l'idea! Ora sì che sono convinto!
Grazie ancora!
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