Funzione che associa ai punti del piano il numero di rette rappresentabili

[HowardRoark]

Sera a tutti. Come da titolo, devo trovare una funzione che associa a $n$ punti non allineati di un piano il numero di rette che si possono disegnare. Indicando con $n$ i punti e con $y$ le rette, ho che:

$2n=y$
$3n=3y$
$4n=6y$
$5n=10y$

Osservo che ad ogni punto che aggiungo ho un incremento del numero di rette rappresentabili: ad esempio per 3 punti ho 3 rette, per 4 punti ho 6 rette ($4y + 1/2*4y$, aumentano del 50% rispetto ai punti), per 5 punti ho 10 rette ($5y + 1*5y$, aumentano del 100% rispetto ai punti).

Per $n->+oo$ dovrei ottenere ogni funzione lineare passante per l'origine con $2<=m<0$, dove $m$ è il coefficiente angolare. Però appunto è un sottoinsieme del fascio di rette passanti per l'origine, non è un'unica funzione...

[Quinzio]

Non e' che stai cercando la nota formula $(n(n+1))/2$ ?
Se ho capito quello che stai cercando.
Nel tuo caso sarebbe $((n-1)n)/2$

[HowardRoark]

"Quinzio":Non e' che stai cercando la nota formula $(n(n+1))/2$ ?
Se ho capito quello che stai cercando.
Nel tuo caso sarebbe $((n-1)n)/2$

Questa la conoscevo, ma come hai fatto a dedurre che andasse bene in questo caso?

[moccidentale]

.

[Quinzio]

"HowardRoark":
Questa la conoscevo, ma come hai fatto a dedurre che andasse bene in questo caso?

Prendi il primo punto. con quanti altri punti lo puoi collegare ? Con $(n-1)$ punti. Giusto ? Se ho $4$ punti, il primo lo posso collegare con $4-1=3$ punti.
Prendi il secondo punto. Con il primo punto e' gia' collegato, quindi il secondo punto si puo' collegare con $n-2$ punti.
Il terzo punto lo posso collegare con $n-3$ punti.
E cosi' via.
Alla fine ottengo la somma $(n-1)+(n-2)+...+2+1 = (n(n-1))/2$.

[HowardRoark]

"sellacollesella":Se consideri un poligono regolare, gli \(n\) vertici stando su una circonferenza sono sicuramente non allineati. Osservando che il primo vertice può essere congiunto ad altri \(n-1\) vertici, il secondo vertice può essere congiunto ad altri \(n-2\) e così via fino all'ultimo vertice, si tratta di sommare gli interi da \(n-1\) fino ad \(1\).

Pertanto, tale somma la possiamo scrivere così: \[
S = (n-1) + (n-2) + \dots + 2 + 1
\] o equivalentemente così: \[
S = 1 + 2 + \dots + (n-2) + (n-1)
\] Sommando le due equazioni membro a membro, si ottiene: \[
2\,S = \underbrace{n + n + \dots + n + n}_{n-1}
\] ossia: \[
2\,S = n\,(n-1)
\] da cui la somma desiderata: \[
S = \frac{n\,(n-1)}{2}\,.
\]

La formula e la dimostrazione dei primi n interi (molto carina tra l'altro) la conoscevo, quello che non ho trovato immediato è stata usarla in questo ambito. Grazie mille comunque!

[HowardRoark]

"Quinzio":[quote="HowardRoark"]
Questa la conoscevo, ma come hai fatto a dedurre che andasse bene in questo caso?

Prendi il primo punto. con quanti altri punti lo puoi collegare ? Con $(n-1)$ punti. Giusto ? Se ho $4$ punti, il primo lo posso collegare con $4-1=3$ punti.
Prendi il secondo punto. Con il primo punto e' gia' collegato, quindi il secondo punto si puo' collegare con $n-2$ punti.
Il terzo punto lo posso collegare con $n-3$ punti.
E cosi' via.
Alla fine ottengo la somma $(n-1)+(n-2)+...+2+1 = (n(n-1))/2$.[/quote]

Secondo me è questo il procedimento che si aspettava il libro da cui ho tratto questo problema (biennio superiori), ti ringrazio per la spiegazione.