Funzione biettiva

[89mary-votailprof]

ciao a tutti. ho un problema con queste funzioni...

1) dimostrare che la funzione f da Q a Q tale che
f : x -->$(3x-1)/X$ è una corrispondenza biunivoca tra Q -(0) e Q -(3).
come devo ragionare? non ci riesco proprio...


2) sia A l'intervallo (0;1] =(0 f : $R^+$ -->A R ha anche il pedice 0 quindi dovrebbe essere l'intervallo [0;+infinito[
definita da f(x)=$1/(1+x^2)$. dimostrare che è biunivoca

allora per questa qui sono arrivata solo a dire che è iniettiva con il metodo algebrico
cioè ho fatto che
$1/(1+x)$ diverso da $1/(1+x1)
e quindi x diverso da x1.
(per x1 intendo x con pedice 1)
come dico che è suriettiva e quindi biettiva?

grazie

[Sk_Anonymous]

"sweet swallow":
1) dimostrare che la funzione f da Q a Q tale che
f : x -->$(3x-1)/X$ è una corrispondenza biunivoca tra Q -(0) e Q -(3).
come devo ragionare?

Se $x_1, x_2 \in \mathbb{Q}\setminus\{0\}$, allora $f(x_1) = f(x_2)$ sse $3 - \frac{1}{x_1} = 3 - \frac{1}{x_2}$, i.e. sse $x_1 = x_2$. Questo prova che $f$ è iniettiva. Sia adesso $y \in \mathbb{Q}\setminus\{3\}$. Allora $f(x) = y$ se $3x - 1 = xy$, e.g. $(3-y)x = 1$, e ancora $x = \frac{1}{3-y} \in \mathbb{Q}\setminus\{0\}$. Perciò $f$ è pure suriettiva su $\mathbb{Q}\setminus\{3\}$. Da qui la tesi.

[Sk_Anonymous]

"sweet swallow":
2) sia A = (0;1], si consideri la funzione
f : $[0, +\infty[$ -->A definita da f(x)=$1/(1+x^2)$. dimostrare che è biunivoca

You know, $f$ è derivabile con continuità in $]0, +\infty[$. In particolare, per ogni $x \in ]0, +\infty[$: $f'(x) = - \frac{2x}{(1+x^2)^2} < 0$. Ne segue che $f$ è monotona decrescente in $[0, +\infty[$, e perciò iniettiva nel suo insieme di definizione. Osservando a questo punto che $f(0) = 1$ e $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0^+$, seguita che $f([0, +\infty[) = ]0, 1] = A$, per cui $f$ è pure biunivoca.

[89mary-votailprof]

per la seconda per me parli arabo!
non ho mai visto decrescente o monotona o limite tendente a 0.
ho cominciato da poco le funzioni...

per la prima risposta che mi hai dato, mi trovo per quanto riguarda la dimosrazione di iniettiva, ma non ho capito perchè è suriettiva...

grazie cmq

[Sk_Anonymous]

"sweet swallow"::shock: per la seconda per me parli arabo! non ho mai visto decrescente o monotona o limite tendente a 0.

Beh, allora dillo... Se $x_1, x_2 \in [0, +\infty[$, allora $f(x_1) = f(x_2)$ sse $1 + x_1^2 = 1 + x_2^2$, e.g. $x_1 = x_2$, siccome ci muoviamo sui reali non negativi. Dunque $f$ è iniettiva. Mostriamo che è pure suriettiva su $]0, 1]$. Sia infatti $y \in ]0, 1]$. Allora $f(x) = y$ se $1 + x^2 = 1/y$, i.e. $x = (\frac{1 - y}{y})^{1/2}$, da cui la tesi.

"sweet swallow":per la prima risposta che mi hai dato [...] non ho capito perchè è suriettiva...

Ho mostrato che, per ogni $y \in \mathbb{Q}\setminus\{3\}$, esiste $x \in \mathbb{Q}\setminus\{0\}$ tale che $f(x) = y$. In particolare, $x = 1/{3-y}$. Dunque $f$ è suriettiva, by definition.

[89mary-votailprof]

grazie mille david! ora sì che ho capito
ciao