Funzione a tratti 2
Anche questa non so proprio come rappresentarla
$y=3-x$ con ${-2<=x<=2}rarr R$
devo disegnarla solo tra meno due e + 2??
$y=3-x$ con ${-2<=x<=2}rarr R$
devo disegnarla solo tra meno due e + 2??
Risposte
"Marco1005":
Se avessi avuto una funzione del tipo $1/x$ il domionio era $R-{0}$ e codominio $R-{0}$ giusto?
Puoi benissimo usare un dominio di $[-5,-1)$ per $1/x$ se vuoi. Magari hai motivi particolari per farlo.
E come codominio puoi usare $\mathbb{R}$ se vuoi. Basta che l'immagine sia contenuta nel codominio.
"ghira":
E come codominio puoi usare $\mathbb{R}$ se vuoi. Basta che l'immagine sia contenuta nel codominio.
Perdonami ma non riesco a capire.
Se immagino il dominio come una retta verticale che incrocia la funzione disegnata, nel caso di $1/x$ il mio dominio è R , tranne zero. Giusto che come dici tu posso prendere anche un dominio tra due intervalli a piacere.
Per il codominio uso invece una retta orizzontale che incrocia la funzione disegnata; quest'ultima la incrocia sempre tranne in corrispondenza dell'asse x, e pertanto non posso mettere R come codominio.
In un esercizio delle superiori che ho postato poco tempo fa c'erano varie funzioni disegnate in cui indicare dominio e codominio, a ho sempre ragionato con il metodo delle rette verticali (dominio) e rette orizzontali (codominio).
Ho capito che l'immagine è un sottoinsieme del codominio. Pero' allora ragionando così nel grafico disegnato, con le rette orizzontali, non ho trovato il codominio ma l'immagine.
"Marco1005":
Giusto che come dici tu posso prendere anche un dominio tra due intervalli a piacere.
Il dominio può essere una cosa stranissima se vuoi. Tipo, "numeri reali che contengono un numero finito di 7 nella loro espansione decimale, o che sono pi greco moltiplicato per un razionale". Ma ovviamente 0 non può fare parte del dominio.
"Marco1005":
e pertanto non posso mettere R come codominio.
Certo che puoi.
"ghira":
[
Certo che puoi.
come posso metterlo quando il grafico non incontra mai asse x. se mettessi R vorrebbe dire che vanno bene tutti i valori compresi quelli sull'asse x. Davvero faccio una fatica boia a capire
Il discorso è il seguente: il codominio e l'immagine sono due insiemi, in generale, diversi (l'immagine è contenuta nel codominio). Quello che dici tu, ossia di tracciare una retta orizzontale, è un metodo grafico per stabilire l'immagine di una funzione. L'immagine è l'insieme dei valori assunti dalla funzione e quindi, come dici tu, il grafico della funzione deve intersecare una certa retta orizzontale per dire che il corrispondente valore delle ordinate appartiene all'immagine della funzione (sempre con l'accortezza che i metodi grafici possono benissimo fallire).
Il codominio è invece un insieme a caso che contiene l'immagine; uno si chiede, perché si distingue codominio con immagine quando potrei benissimo definire le funzioni direttamente con l'immagine come codominio (ossia, avere solo funzioni suriettive)? Perché, in generale, l'immagine di una funzione non è sempre facile da stabilire (anzi, di solito non si riesce a fare). Quindi, per ovviare a ciò, si dice semplicemente dove si vuole che funzione abbia valori (ad esempio, prendendo il più grande insieme in cui la funzione può ammettere valori; tipo $\mathbb{R}$ per la funzione $1/x$ se la si vuole a valori reali) e si aggira il problema di dover stabilire l'insieme immagine.
Essendo semplice risolvere l'equazione $1/x=y$, nel caso di $1/x$ in effetti non si vede molto bene perché bisogna fare questa distinzione; ma considera la funzione polinomiale di dominio $\mathbb{R}$ e codominio che per ora ometto (per ovvi motivi) data da $f(x)=3x^6-15x^4+12x^3+25x^2-32x+14$. Tale funzione non è limitata superiormente, ma ha certamente minimo (perché è continua e tende a $\infty$ sia per $x \to \infty$ sia per $x \to -\infty)$. Tuttavia, stabilire esplicitamente tale minimo non è per niente facile. Dato che, per scrivere esplicitamente l'immagine, ci serve il minimo (perché ci serve sapere quali sono i valori assunti dalla funzione), diventa complicato usare l'immagine come codominio. Quindi uno se ne fa una ragione, e dice semplicemente che il codominio di $f$ è $\mathbb{R}$ perché è sicuro che l'immagine di $f$ sarà contenuta in $\mathbb{R}$. E quindi, in conclusione, si definisce $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ponendo $f(x)=3x^6-15x^4+12x^3+25x^2-32x+14$. Spero che ora sia più chiaro.
Il codominio è invece un insieme a caso che contiene l'immagine; uno si chiede, perché si distingue codominio con immagine quando potrei benissimo definire le funzioni direttamente con l'immagine come codominio (ossia, avere solo funzioni suriettive)? Perché, in generale, l'immagine di una funzione non è sempre facile da stabilire (anzi, di solito non si riesce a fare). Quindi, per ovviare a ciò, si dice semplicemente dove si vuole che funzione abbia valori (ad esempio, prendendo il più grande insieme in cui la funzione può ammettere valori; tipo $\mathbb{R}$ per la funzione $1/x$ se la si vuole a valori reali) e si aggira il problema di dover stabilire l'insieme immagine.
Essendo semplice risolvere l'equazione $1/x=y$, nel caso di $1/x$ in effetti non si vede molto bene perché bisogna fare questa distinzione; ma considera la funzione polinomiale di dominio $\mathbb{R}$ e codominio che per ora ometto (per ovvi motivi) data da $f(x)=3x^6-15x^4+12x^3+25x^2-32x+14$. Tale funzione non è limitata superiormente, ma ha certamente minimo (perché è continua e tende a $\infty$ sia per $x \to \infty$ sia per $x \to -\infty)$. Tuttavia, stabilire esplicitamente tale minimo non è per niente facile. Dato che, per scrivere esplicitamente l'immagine, ci serve il minimo (perché ci serve sapere quali sono i valori assunti dalla funzione), diventa complicato usare l'immagine come codominio. Quindi uno se ne fa una ragione, e dice semplicemente che il codominio di $f$ è $\mathbb{R}$ perché è sicuro che l'immagine di $f$ sarà contenuta in $\mathbb{R}$. E quindi, in conclusione, si definisce $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ponendo $f(x)=3x^6-15x^4+12x^3+25x^2-32x+14$. Spero che ora sia più chiaro.
E in aggiunta ci sarebbe il discorso sulla suriettività (che lascio dettagliare a Mephlip al quale viene meglio 
)
Cordialmente, Ale
)Cordialmente, Ale
"Marco1005":
In un esercizio delle superiori che ho postato poco tempo fa c'erano varie funzioni disegnate in cui indicare dominio e codominio, a ho sempre ragionato con il metodo delle rette verticali (dominio) e rette orizzontali (codominio).
Ho capito che l'immagine è un sottoinsieme del codominio. Pero' allora ragionando così nel grafico disegnato, con le rette orizzontali, non ho trovato il codominio ma l'immagine.
Spesso nei testi di scuola superiore viene usata erronemente la parola codominio per indicare l'immagine.
"Mephlip":
Spero che ora sia più chiaro.
Grazie per la spiegazione. Alla fine si indica sempre genericamente come codominio R, in cui è presente l'immagine.
L'immagine è associata ad elementi del dominio. punto e stop.
Per come mi è stata spiegata quindi la prof di matematica continua a chiedere agli studenti il dominio e il codominio ma difatti con le rette si stanno indicando immagine e ....??? controimmagine???
Grazie
"Marco1005":
[Alla fine si indica sempre genericamente come codominio R, in cui è presente l'immagine.
Non necessariamente. Magari vuoi che la funzione sia biettiva.
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