Freccia sottile e freccia grossa
Buonasera amici!! 
Oggi ho fatto un po' di matematica e un dubbio tremendo mi ha assalita. Mi potete dire se vi garba la differenza fra la freccettina sottile $rarr$ e quella più cicciotta $rArr$? Da quel che ricordo dallo studio della logica della prima liceo, la prima dovrebbe essere quella per gli enunciati e la seconda per i predicati, ma non ricordo molto bene
Oggi ho fatto un po' di matematica e un dubbio tremendo mi ha assalita. Mi potete dire se vi garba la differenza fra la freccettina sottile $rarr$ e quella più cicciotta $rArr$? Da quel che ricordo dallo studio della logica della prima liceo, la prima dovrebbe essere quella per gli enunciati e la seconda per i predicati, ma non ricordo molto bene
Risposte
la seconda ha un significato logico preciso, indica una implicazione logica (tra proposizioni di qualunque tipo in genere).
la linea sottile sinceramente non credo abbia un vero significato, io non l'ho mai vista utilizzata in particolari contesti.
la linea sottile sinceramente non credo abbia un vero significato, io non l'ho mai vista utilizzata in particolari contesti.
Ah capisco. Quindi faccio prima a usare sempre quella più cicciotta?
A quanto ne so la freccia sottile e' un connettivo logico determinato da:
[tex]P\to Q[/tex] significa [tex]P\vee (non-P)[/tex]
(in sostanza l'unico caso in cui $P\to Q$ e' falsa e' quello in cui $P$ e' vera e $Q$ e' falsa).
Per quanto riguarda $\Rightarrow$ non so bene se sia codificato dai logici ma io lo uso (e lo vedo usare) per indicare che una certa
proprieta' ne implica un'altra e quindi con il seguente significato
$P\Rightarrow Q$ significa [tex]\forall x P(x)\to Q(x)[/tex]
(forse i logici scriverebbero $P(x)\Rightarrow Q(x)$, ma non so)
Per esempio $"2 dispari"\to"3pari"$ e' un enunciato vero (di poco interesse in se')
mentre con la "freccia cicciona" e' vera la seguente implicazione.
"$n$ pari"$\Rightarrow$ "$n+1$ dispari"
In effetti questo torna con quanto diceva Fabianucci@, la freccina collega enunciati, la frecciotta collega proprieta' (cioe' predicati). In generale, secondo me, e' la seconda che si
intende di solito quando si parla di implicazione.
Se c'e' qualche logico in ascolto gli chiedo venia se ho detto imprecisioni.
[tex]P\to Q[/tex] significa [tex]P\vee (non-P)[/tex]
(in sostanza l'unico caso in cui $P\to Q$ e' falsa e' quello in cui $P$ e' vera e $Q$ e' falsa).
Per quanto riguarda $\Rightarrow$ non so bene se sia codificato dai logici ma io lo uso (e lo vedo usare) per indicare che una certa
proprieta' ne implica un'altra e quindi con il seguente significato
$P\Rightarrow Q$ significa [tex]\forall x P(x)\to Q(x)[/tex]
(forse i logici scriverebbero $P(x)\Rightarrow Q(x)$, ma non so)
Per esempio $"2 dispari"\to"3pari"$ e' un enunciato vero (di poco interesse in se')
mentre con la "freccia cicciona" e' vera la seguente implicazione.
"$n$ pari"$\Rightarrow$ "$n+1$ dispari"
In effetti questo torna con quanto diceva Fabianucci@, la freccina collega enunciati, la frecciotta collega proprieta' (cioe' predicati). In generale, secondo me, e' la seconda che si
intende di solito quando si parla di implicazione.
Se c'e' qualche logico in ascolto gli chiedo venia se ho detto imprecisioni.
Ok, ViciousGoblin sei stato chiarissimo! Quindi, per estensione, posso dire che la freccina si usa per casi specifici mentre la frecciona per casi più astratti?
Se capisco quello intendi direi di si'.
Mi faresti un esempio in cui hai il dubbio su quale usare?
Mi faresti un esempio in cui hai il dubbio su quale usare?
Ad esempio:
Qui userei la freccina: $3>4 rarr 3*2>4*2$
Qui al contrario la frecciona: $a>b rArr 2a>2b$, o no?
Qui userei la freccina: $3>4 rarr 3*2>4*2$
Qui al contrario la frecciona: $a>b rArr 2a>2b$, o no?
"Fabianucci@":
Ad esempio:
Qui userei la freccina: $3>4 rarr 3*2>4*2$
Qui al contrario la frecciona: $a>b rArr 2a>2b$, o no?
MMMMhh il tuo esempio mi fa capire che la cosa e' piu' sottile di come te l'avevo detta. Provo a spiegarmi. In effetti la prima riga e' corretta, ma lo e' solo per il fatto che $3>4$ e' falso.
Puoi benissimo scriverla, ma non serve a molto.
Tu pero' potresti volermi convincere che da 5>3 SEGUE 10>6 e potresti chiedermi quale delle due notazioni
"5>3" $\to$"10>6"
"5>3" $\Rightarrow$"10>6"
sia adatta a esprimere questo ragionamento. Secondo me la prima non lo è. La prima formula rappresenta un enunciato vero e per vedere che lo è si deve controllare se $5>3$ e una volta visto che è vero (se fosse falso non servirebbe altro) controllare se $10>6$. La verifica della verità di questo enunciato richiede di sapere già che $10>6$ e quindi non può esprimere una deduzione.
In realtà l'argomentazione che tu faresti sarebbe
1) so che $5>3$
2) so che $\forall a,b\ (a>b)\to (2a>2b)$
DUNQUE $10>6$
Questo blocco, che logicamente si dovrebbe rappresentare dicendo che è vera la:
$((5>3)\wedge(\forall a,b\ (a>b)\to (2a>2b)))\to(10>6)$
spesso si "riassume" con "5>3" $\Rightarrow$"10>6" (SOTTINTENDENDO che si usa anche il principo generale scritto in 2) ).
Concludendo (e sperando di non averti confusa
) direi che "$\to$" è un simbolo con uno specifico significato a cui però si ricorre in questioni "tecniche" di logica. Quell'altro mi pare abbia un significato più vago corrispondente all'idea intuitiva di "deducibilità" di una proprietà dall'altra.
Alla fine, se non stai facendo logica, credo sia meglio usare la freccia doppia.
La colpa è tutta dei testi del liceo.
[tex]\rightarrow[/tex] e [tex]\Rightarrow[/tex] sono la stessa cosa, sui testi di logica sono usati entrambi come connettivo ed entrambi per l'implicazione, cambia solo la scelta di quela dei due a seconda dell'autore, il problema è che i testi del liceo usano il secondo simbolo nel modo sbagliato: lo usano per indicare una deduzione, mentre in logica la deduzione si indica in tutt'altro modo.
[tex]\rightarrow[/tex] e [tex]\Rightarrow[/tex] sono la stessa cosa, sui testi di logica sono usati entrambi come connettivo ed entrambi per l'implicazione, cambia solo la scelta di quela dei due a seconda dell'autore, il problema è che i testi del liceo usano il secondo simbolo nel modo sbagliato: lo usano per indicare una deduzione, mentre in logica la deduzione si indica in tutt'altro modo.
"WiZaRd":
La colpa è tutta dei testi del liceo.
[tex]\rightarrow[/tex] e [tex]\Rightarrow[/tex] sono la stessa cosa, sui testi di logica sono usati entrambi come connettivo ed entrambi per l'implicazione, cambia solo la scelta di quela dei due a seconda dell'autore, il problema è che i testi del liceo usano il secondo simbolo nel modo sbagliato: lo usano per indicare una deduzione, mentre in logica la deduzione si indica in tutt'altro modo.
Probabilmente il mio e' allora un uso scorretto, che però ho appreso (e perpetuato) e che ritrovo in molti colleghi (e anche nei lavori) . In sostanza io uso la freccia doppia come sinonimo
di "implica", che, come dicevo prima, non mi pare espresso dalla "implicazione materiale" (mi sembra che così la chiamino i testi del liceo).
Per esempio, per dimostrare che $\sqrt{e}<2$ io scriverei
$e<3\Leftrightarrow \sqrt{e}<\sqrt{3}\Rightarrow\sqrt{e}<\sqrt{4}\Leftrightarrow\sqrt{e}<2$
In cui (come tentavo di spiegare ) sono sottintese MOLTE cose.
Inoltre da ciò che ricorso di qualche lettura fatta due o tre anni fa, in cui cercavo di capire qualcosa di logica, mi sembra che l'affermazione
"$P(x)$ IMPLICA $Q(x)$"
che direi corrispondere a " e' vero che $\forall x P(x)\to Q(x)$", abbia un suo "status" che io ritenevo essere esprimibile con "$P(x)\Rightarrow Q(x)$"
(e che è cosa diversa da $Q(x)$ è conseguenza logica di $P(x)$, cosa che indica l'esistenza di una dimostrazione)
L'argomento in effetti mi incuriosisce, ma mi spiace per Fabianucci@
che temo si sia spaventata. Continuo a pensare che la freccia doppia sia preferibile proprio perchè usata in senso più vago e dato che, per quello che capisco io, il connettivo "$\to$" non corrisponde (da solo) all'idea di implicazione; continuo a ritenere che la scrittura$a>b \to 2a>2b$
non esprima l'affermazione "se due numeri sono in un certo ordine, allora i loro doppi sono nello stesso ordine" (lo è se ci si mettono i quantificatori).
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