Frazione algebriche. Perdita significato
Non mi è chiara una questione. Faccio esempio:
la frazione
$(x^2+1)/(x-1)$
è ovvimente priva di significato se $x=1$
la frazione
$(x^2-3x+2)/(x-1)$
non direi che è (sempre) priva di significato per $x=1$ (che io intendo solo quando assume la forma $k/0$ con $k!=0$)poiché per $x=1$ è indeterminta.
generalizzo e passo alle equazioni:
in una equazione della forma $f(x)/g(x)=0$ si verifica che abbia significato ponendo $g(x)!=0$
Se $g(k)=0$ e $k$ è una soluzione dell'equazione $f(x)/g(x)=0$ viene scartata escludendo $k$ dall'insieme delle soluzioni.
Prima di procedere a questa esclusione mi sarebbe sembrato necessario verificare che non sia anche $f(k)=0$
Con questo non intendo affermare che l'equazione $f(x)/g(x)=0$ sia indeterminata per $x=k$ ma che per quel valore è indecidibile.
Provo con un esempio scemo
$((x-1)(x+1))/(x-1)+1=0$
Per $x=1$
Si trasforma in
$0/0+1=0$
Che può essere vera se
$0/0=-1$
Oppure falsa se
$0/0!=-1$
così non si può decidere se sia vera o falsa
Insomma vi domando:
perché anche in questi casi si dice che la frazione non ha significato?
Grazie
la frazione
$(x^2+1)/(x-1)$
è ovvimente priva di significato se $x=1$
la frazione
$(x^2-3x+2)/(x-1)$
non direi che è (sempre) priva di significato per $x=1$ (che io intendo solo quando assume la forma $k/0$ con $k!=0$)poiché per $x=1$ è indeterminta.
generalizzo e passo alle equazioni:
in una equazione della forma $f(x)/g(x)=0$ si verifica che abbia significato ponendo $g(x)!=0$
Se $g(k)=0$ e $k$ è una soluzione dell'equazione $f(x)/g(x)=0$ viene scartata escludendo $k$ dall'insieme delle soluzioni.
Prima di procedere a questa esclusione mi sarebbe sembrato necessario verificare che non sia anche $f(k)=0$
Con questo non intendo affermare che l'equazione $f(x)/g(x)=0$ sia indeterminata per $x=k$ ma che per quel valore è indecidibile.
Provo con un esempio scemo
$((x-1)(x+1))/(x-1)+1=0$
Per $x=1$
Si trasforma in
$0/0+1=0$
Che può essere vera se
$0/0=-1$
Oppure falsa se
$0/0!=-1$
così non si può decidere se sia vera o falsa
Insomma vi domando:
perché anche in questi casi si dice che la frazione non ha significato?
Grazie
Risposte
Ritratto tutto.
Sono di ritorno sulla posizione di partenza e cioè che in $f(x)/g(x)$ se $f(k)=0;\ g(k)=0$ il problema è indecidibile.
Credo che mi sia sfuggita fin dall'inizio una sottigliezza.
Ho dato alla divisione attributi che sono invece del problema che con la divisione si vuol risolvere.
Parlando della possibilità di schiacciare o meno $a/0$; con $a!=0$ e $0/0$ nell'unica asserzione "non ha senso" o "è impossibile" si deve distinguere tra:
i) soluzione del problema
ii) risultato della divisione
Formalmente i rilievi di WiZaRd mi paiono inappuntabili; sintetizzando: la divisione per $0$ non ha mai un risultato unico.
Tuttavia, come rilevato, le origini di questa impossibilità (che è della divisione e quindi della possibilità di trovare per il problema un risultato unico. Unica opportunità offerta dalla divisione - ma chi ha detto che il risultato debba essere unico?) possono essere due:
1) non esiste alcun numero che moltiplicato per il divisore dia il dividendo $a/0$
2) il risultato non è unico $0/0$
nel primo caso il problema (e non la divisione) è indeteminato
nel secondo è impossibile
Secondo questa impostazione, come suddetto, trovo opportuno tuttora validi i rilievi fatti in principio e dunque necessario affermare che in $f(x)/g(x)$ se $f(k)=0;\ g(k)=0$ il problema è indecidibile.
Insomma tutto dipenda da cosa si cerca.
Se si cerca la soluzione del problema e si pretende che sia unica (cosa che si fa con la divisione) la risposta è impossibile.
Se si cerca la soluzione senza le risposte ossono essere due
Mi rendo conto che può non essere una posizione ortodossa e sul piano formale irrispettosa ma rinunciando a questa istinzione mi pare innegabile che si perda qualcosa.
Ciao
EDIT. nel rileggermi mi accorgo che potrebbe passare l'idea che io intenda con "problema" qualcosa di esterno alla matematica che l'equazione descrive. Non è così: intendo semplicemente la ricerca dei valori che rendono vera quella equazione.
Sono di ritorno sulla posizione di partenza e cioè che in $f(x)/g(x)$ se $f(k)=0;\ g(k)=0$ il problema è indecidibile.
Credo che mi sia sfuggita fin dall'inizio una sottigliezza.
Ho dato alla divisione attributi che sono invece del problema che con la divisione si vuol risolvere.
Parlando della possibilità di schiacciare o meno $a/0$; con $a!=0$ e $0/0$ nell'unica asserzione "non ha senso" o "è impossibile" si deve distinguere tra:
i) soluzione del problema
ii) risultato della divisione
Formalmente i rilievi di WiZaRd mi paiono inappuntabili; sintetizzando: la divisione per $0$ non ha mai un risultato unico.
Tuttavia, come rilevato, le origini di questa impossibilità (che è della divisione e quindi della possibilità di trovare per il problema un risultato unico. Unica opportunità offerta dalla divisione - ma chi ha detto che il risultato debba essere unico?) possono essere due:
1) non esiste alcun numero che moltiplicato per il divisore dia il dividendo $a/0$
2) il risultato non è unico $0/0$
nel primo caso il problema (e non la divisione) è indeteminato
nel secondo è impossibile
Secondo questa impostazione, come suddetto, trovo opportuno tuttora validi i rilievi fatti in principio e dunque necessario affermare che in $f(x)/g(x)$ se $f(k)=0;\ g(k)=0$ il problema è indecidibile.
Insomma tutto dipenda da cosa si cerca.
Se si cerca la soluzione del problema e si pretende che sia unica (cosa che si fa con la divisione) la risposta è impossibile.
Se si cerca la soluzione senza le risposte ossono essere due
Mi rendo conto che può non essere una posizione ortodossa e sul piano formale irrispettosa ma rinunciando a questa istinzione mi pare innegabile che si perda qualcosa.
Ciao
EDIT. nel rileggermi mi accorgo che potrebbe passare l'idea che io intenda con "problema" qualcosa di esterno alla matematica che l'equazione descrive. Non è così: intendo semplicemente la ricerca dei valori che rendono vera quella equazione.
Troppe chiacchiere.
La divisione fra numeri reali non si può fare se il divisore è zero. Indipendentemente da quello che hai al numeratore.
Se poi hai modellizzato un problema e questo modello matematico ti conduce a dover dividere un numero reale per zero, semplicemente non lo puoi fare. A questo punto sta a te riflettere se ciò sta ad indicare che il problema era effettivamente "insensato" o se la modellizzazione che ne hai fatto era inappropriata (o entrambe...).
Se il tuo modello ti porta a fare un limite del tipo $f(x)/g(x)$, in cui il limite a numeratore e denominatore è zero, allora hai una forma indeterminata. Ma questo non c'entra nulla(*) col problema di cui sopra.
[size=75]
(*) Ma proprio niente niente niente![/size]
La divisione fra numeri reali non si può fare se il divisore è zero. Indipendentemente da quello che hai al numeratore.
Se poi hai modellizzato un problema e questo modello matematico ti conduce a dover dividere un numero reale per zero, semplicemente non lo puoi fare. A questo punto sta a te riflettere se ciò sta ad indicare che il problema era effettivamente "insensato" o se la modellizzazione che ne hai fatto era inappropriata (o entrambe...).
Se il tuo modello ti porta a fare un limite del tipo $f(x)/g(x)$, in cui il limite a numeratore e denominatore è zero, allora hai una forma indeterminata. Ma questo non c'entra nulla(*) col problema di cui sopra.
[size=75]
(*) Ma proprio niente niente niente![/size]
"Fioravante Patrone":
Troppe chiacchiere.
Sempre più cattivo Patrone il Censore.
"Fioravante Patrone":
La divisione fra numeri reali non si può fare se il divisore è zero. Indipendentemente da quello che hai al numeratore.
Se poi hai modellizzato un problema e questo modello matematico ti conduce a dover dividere un numero reale per zero, semplicemente non lo puoi fare. A questo punto sta a te riflettere se ciò sta ad indicare che il problema era effettivamente "insensato" o se la modellizzazione che ne hai fatto era inappropriata (o entrambe...).
Questo mi è chiaro. Ma debbo dire purtroppo perché non mi è invece chiaro in cosa contraddica quello che ho scritto io.
O almeno mi è chiara la possibile inadeguatezza della divisione.
"Fioravante Patrone":
Se il tuo modello ti porta a fare un limite del tipo $f(x)/g(x)$, in cui il limite a numeratore e denominatore è zero, allora hai una forma indeterminata. Ma questo non c'entra nulla(*) col problema di cui sopra.
[size=75]
(*) Ma proprio niente niente niente![/size]
per questo mi ci vorrà ancora qualche tempo.Grazie Prof. Severus
"silente":
Questo mi è chiaro. Ma debbo dire purtroppo perché non mi è invece chiaro in cosa contraddica quello che ho scritto io.
O almeno mi è chiara la possibile inadeguatezza della divisione.
Non capisco in cosa l'impossibilità di dividere per $0$ contraddica quello che scrivi, per il semplice fatto che quello che scrivi non è un problema di sostanza, ma un problema di letteratura.
Concordo con Fioravante: secondo me stai concentrandoti troppo su quello che è un "capriccio di stile" e stai perdendo di vista il motivo per il quale la divisione per $0$ non si può fare.
La divisione per $0$ è vietata, sia che il dividendo sia non nullo, sia che lo sia. In entrambi i casi la divisione è impossibile: nel primo è impossibile perché è impossibile trovare il quoziente, nel secondo è impossibile perché è impossibile trovarne uno solo. Se ad un autore piacere fare giochi semantici, allora potrà dire che nel primo caso la divisione è impossibile e basta (non credo sarebbe divertente dire "è impossibile perché c'è impossibilità" - tautologico), mentre nel secondo potrà dire è indeterminato (è impossibile perché è indeterminato il quoziente).
La sostanza è sempre quella: la divisione per $0$ non ha senso, quindi, in una equazione bisogna porre $C.E.: g(x)!=0$.
@ silente
Studiati la struttura algebrica di $RR$.
Studiati la struttura algebrica di $RR$.
Innanzitutto grazie a tutti
@Krek
Ci proverò. Grazie per il suggerimento.
@ WiZarD
Non credo (o almeno non è mia intenzione) concentrarmi su problemi di stile: Se è così credi che non lo si è voluto .
Non sono sicuro di seguirti. Se quello che intendi è qualcosa del tipo:
nello scrivere una equazione (o qualche formula in genere) del tipo $a/b=c$ non si riesce (per la definizione di divisione) a tradurre il problema che chiede di trovare un $c$ tale che $b*c=a$ allora ho capito.
E' un problema di traduzione in linguaggio matematico.
Rileggendo il mio post ho capito il rilievo di Fioravante Patrone.
Nel tradurre un problema nel linguaggio matematico può darsi che si perda qualcosa (da qui la mia dichiarazione di consapevolezza della inadeguatezza della divisione).
Questo lo avevo intuito ma purtroppo (chiedendo ad una equazione (traduzione) più del lecito) continuavo a cercare la soluzione del problema pretendendo di ottenerla dalla risoluzione all'equazione con le regole dell'algebra. (il che prevede una deguatezza della traduzione ottenibile solo tramite le revisione della definizione della divisione)
Una volta tradotto il problema nel linguaggio della matematica mi devo scordare invece il problema sostanziale. La traduzione è quella e se non è adeguata è un'altro questione.
Questa pretesa non credo sia irragionevole (anzi se è possibile è un dovere cercarla e istituire un'algebra che dia questa opportunità). Evidentemente non è possibile (o non è conveniente) perché richiderebbe una nuova definizione della divisione.
Di grazia potete dirmi se sono giunto ad una cognizione adeguata?
Ciao (tra un po' però; ora andate a vedere ONE PIECE)
@Krek
Ci proverò. Grazie per il suggerimento.
@ WiZarD
Non credo (o almeno non è mia intenzione) concentrarmi su problemi di stile: Se è così credi che non lo si è voluto .
"WiZaRd":
Non capisco in cosa l'impossibilità di dividere per $0$ contraddica quello che scrivi, per il semplice fatto che quello che scrivi non è un problema di sostanza, ma un problema di letteratura.
Non sono sicuro di seguirti. Se quello che intendi è qualcosa del tipo:
nello scrivere una equazione (o qualche formula in genere) del tipo $a/b=c$ non si riesce (per la definizione di divisione) a tradurre il problema che chiede di trovare un $c$ tale che $b*c=a$ allora ho capito.
E' un problema di traduzione in linguaggio matematico.
Rileggendo il mio post ho capito il rilievo di Fioravante Patrone.
Nel tradurre un problema nel linguaggio matematico può darsi che si perda qualcosa (da qui la mia dichiarazione di consapevolezza della inadeguatezza della divisione).
Questo lo avevo intuito ma purtroppo (chiedendo ad una equazione (traduzione) più del lecito) continuavo a cercare la soluzione del problema pretendendo di ottenerla dalla risoluzione all'equazione con le regole dell'algebra. (il che prevede una deguatezza della traduzione ottenibile solo tramite le revisione della definizione della divisione)
Una volta tradotto il problema nel linguaggio della matematica mi devo scordare invece il problema sostanziale. La traduzione è quella e se non è adeguata è un'altro questione.
Questa pretesa non credo sia irragionevole (anzi se è possibile è un dovere cercarla e istituire un'algebra che dia questa opportunità). Evidentemente non è possibile (o non è conveniente) perché richiderebbe una nuova definizione della divisione.
Di grazia potete dirmi se sono giunto ad una cognizione adeguata?
Ciao (tra un po' però; ora andate a vedere ONE PIECE)
$(x^2+x-2)/(x-1)$ = 0
in questa equazione escludo i valori per cui la x=1 così ke posso eliminare il deniominatore e trovare le soluzioni per x diverso da 1..ma se x=1 l'equazione non si annulla ma diviene indeterminata..allora non dovrebbero esserci 3 soluzioni?..2 per x diverso da 1 e una (cioè indeterminata) per x=1..cioè perchè quest'ultima non la considero?..sarò stupida ma non capisco..è solo un discorso di divisione?
in questa equazione escludo i valori per cui la x=1 così ke posso eliminare il deniominatore e trovare le soluzioni per x diverso da 1..ma se x=1 l'equazione non si annulla ma diviene indeterminata..allora non dovrebbero esserci 3 soluzioni?..2 per x diverso da 1 e una (cioè indeterminata) per x=1..cioè perchè quest'ultima non la considero?..sarò stupida ma non capisco..è solo un discorso di divisione?
"silente":
Rileggendo il mio post ho capito il rilievo di Fioravante Patrone.
Nel tradurre un problema nel linguaggio matematico può darsi che si perda qualcosa (da qui la mia dichiarazione di consapevolezza della inadeguatezza della divisione).
Questo lo avevo intuito ma purtroppo (chiedendo ad una equazione (traduzione) più del lecito) continuavo a cercare la soluzione del problema pretendendo di ottenerla dalla risoluzione all'equazione con le regole dell'algebra. (il che prevede una deguatezza della traduzione ottenibile solo tramite le revisione della definizione della divisione)
Una volta tradotto il problema nel linguaggio della matematica mi devo scordare invece il problema sostanziale. La traduzione è quella e se non è adeguata è un'altro questione.
Questa pretesa non credo sia irragionevole (anzi se è possibile è un dovere cercarla e istituire un'algebra che dia questa opportunità). Evidentemente non è possibile (o non è conveniente) perché richiderebbe una nuova definizione della divisione.
Di grazia potete dirmi se sono giunto ad una cognizione adeguata?
Uh, ancora toppe parole, ma quello che tu esponi qui sopra è anche il mio punto di vista. Già che si parla di vista, proviamo ad allargare lo sguardo.
In effetti:
- nulla vieta di porsi il problema di "cambiare la matematica" (la struttura algebrica di $RR$, citata da krek, non è sempre esistita, e probabilmente prima o poi cadrà nel dimenticatoio, ancor prima che la Terra sia ereditata dai ratti). Ma questo non è cosa che avviene quando si è affaccendati col lavoro normale, quotidiano
- nessuno proibisce di avere un'altra posizione epistemologica. Io trovo molto utile come "disciplina" questo punto di vista (ma, si sa, sono uno severo).
"Lucky91":
$(x^2+x-2)/(x-1)$ = 0
in questa equazione escludo i valori per cui la x=1 così ke posso eliminare il deniominatore e trovare le soluzioni per x diverso da 1..ma se x=1 l'equazione non si annulla ma diviene indeterminata..allora non dovrebbero esserci 3 soluzioni?..2 per x diverso da 1 e una (cioè indeterminata) per x=1..cioè perchè quest'ultima non la considero?..sarò stupida ma non capisco..è solo un discorso di divisione?
x=1 non è soluzione dell'equazione che hai scritto.
Per x=1 l'espressione a sinistra non ha senso, in quanto richiederebbe di dividere per 0. E' solo un mucchietto di simboli, privo di significato.
L'unica soluzione è x=-2. Come si vede facilmente, visto che l'equazione data (per x diverso da 1), è equivalente a x+2=0 (basta dividere numeratore e denominatore per x-1)
..questo l'avevo capito..non dicevo ke x=1 fosse una soluzione..vabbè lasciamo perdere..credo ke sta cose non la capirò mai..vorrei parlarne con la prof ma ho paura di fare una domanda stupida..
Voi dite che non ne fate una questione di stile, ma intanto è su questo che continuate a impuntarvi.
La cosa che conta è che quello che si definisce sia ben definito o non ben definito. Una divisone per $0$ non è ben definita, quindi ogni scrittura del tipo $a-:0$ oppure $a/0$ non ha alcun senso. Se $a/0$ non ha alcun senso, come può avere senso chiedersi quando una cosa senza senso è uguale a una cosa che invece ha senso?
La cosa che conta è che quello che si definisce sia ben definito o non ben definito. Una divisone per $0$ non è ben definita, quindi ogni scrittura del tipo $a-:0$ oppure $a/0$ non ha alcun senso. Se $a/0$ non ha alcun senso, come può avere senso chiedersi quando una cosa senza senso è uguale a una cosa che invece ha senso?
"Lucky91":
se x=1 l'equazione non si annulla ma diviene indeterminata..allora non dovrebbero esserci 3 soluzioni?..2 per x diverso da 1 e una (cioè indeterminata) per x=1..cioè perchè quest'ultima non la considero?
A me non sembra di aver capito male.
Comunque, penso ti convenga discutere di questi tuoi dubbi con la prof.
Non devi preoccuparti di fare una domanda stupida. Piuttosto direi che, avendo le idee poco chiare, dovresti preoccuparti di preparare con attenzione una domanda chiara, e anche di scriverti poi con calma quello che hai capito delle risposte che ti dà, per poi chiedere ulteriormente conferma alla prof.
nono..non hai capito male..avevo letto male io..perdonami..la domanda sarà difficile farla chiara..comunque le chiederò del perchè non posso considerare anche la soluzione x=1 quando sostituendo otterrei 0/0=0..
quindi comunque un'identità..
Non so come dirtelo. 
Se nell'espressione a primo membro sostituisci 1 alla x, ottieni una cosa senza senso, ovvero 0/0.
0/0=0 non è un'identità. E' una espressione priva di senso perché la scrittura prima dell'uguale non ha nessun significato. Non si può dividere per zero.
Oltretutto, le stesse identiche cose le ha già dette anche WiZaRd.
Se nell'espressione a primo membro sostituisci 1 alla x, ottieni una cosa senza senso, ovvero 0/0.
0/0=0 non è un'identità. E' una espressione priva di senso perché la scrittura prima dell'uguale non ha nessun significato. Non si può dividere per zero.
Oltretutto, le stesse identiche cose le ha già dette anche WiZaRd.
l'ho capito..dividere per 0 non ha senso..non capisco il perchè..comunque c penso su poi se è ne parlo con la prof..grazie per la pazienza..
Perché se a basket fai canestro con i piedi non è valido ?
Perché è una regola?
Studiati la struttura dei Reali.
Tutto quello su cui stai ragionando si appoggia alla struttura algebrica dei Reali.
Nel campo dei numeri reali non puoi dividere per zero.
Vuoi una matematica in cui si divide per zero ?
Fai pure ma stai parlando di un altra cosa.
Anche io posso giocare a basket con i piedi e fare più canestri di un campione di NBA ma sicuramente non posso giocare nel NBA se uso i piedi per fare canestro.
Mi scuso per la mancanza di formalismo e di stile e per l'esempio improprio e per il tono di questa risposta, ma tanto vale che si discuta di come si divide un numero per un colore.
$5/(rosso)=?$
Perché è una regola?
Studiati la struttura dei Reali.
Tutto quello su cui stai ragionando si appoggia alla struttura algebrica dei Reali.
Nel campo dei numeri reali non puoi dividere per zero.
Vuoi una matematica in cui si divide per zero ?
Fai pure ma stai parlando di un altra cosa.
Anche io posso giocare a basket con i piedi e fare più canestri di un campione di NBA ma sicuramente non posso giocare nel NBA se uso i piedi per fare canestro.
Mi scuso per la mancanza di formalismo e di stile e per l'esempio improprio e per il tono di questa risposta, ma tanto vale che si discuta di come si divide un numero per un colore.
$5/(rosso)=?$
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo