Frazione algebriche. Perdita significato
Non mi è chiara una questione. Faccio esempio:
la frazione
$(x^2+1)/(x-1)$
è ovvimente priva di significato se $x=1$
la frazione
$(x^2-3x+2)/(x-1)$
non direi che è (sempre) priva di significato per $x=1$ (che io intendo solo quando assume la forma $k/0$ con $k!=0$)poiché per $x=1$ è indeterminta.
generalizzo e passo alle equazioni:
in una equazione della forma $f(x)/g(x)=0$ si verifica che abbia significato ponendo $g(x)!=0$
Se $g(k)=0$ e $k$ è una soluzione dell'equazione $f(x)/g(x)=0$ viene scartata escludendo $k$ dall'insieme delle soluzioni.
Prima di procedere a questa esclusione mi sarebbe sembrato necessario verificare che non sia anche $f(k)=0$
Con questo non intendo affermare che l'equazione $f(x)/g(x)=0$ sia indeterminata per $x=k$ ma che per quel valore è indecidibile.
Provo con un esempio scemo
$((x-1)(x+1))/(x-1)+1=0$
Per $x=1$
Si trasforma in
$0/0+1=0$
Che può essere vera se
$0/0=-1$
Oppure falsa se
$0/0!=-1$
così non si può decidere se sia vera o falsa
Insomma vi domando:
perché anche in questi casi si dice che la frazione non ha significato?
Grazie
la frazione
$(x^2+1)/(x-1)$
è ovvimente priva di significato se $x=1$
la frazione
$(x^2-3x+2)/(x-1)$
non direi che è (sempre) priva di significato per $x=1$ (che io intendo solo quando assume la forma $k/0$ con $k!=0$)poiché per $x=1$ è indeterminta.
generalizzo e passo alle equazioni:
in una equazione della forma $f(x)/g(x)=0$ si verifica che abbia significato ponendo $g(x)!=0$
Se $g(k)=0$ e $k$ è una soluzione dell'equazione $f(x)/g(x)=0$ viene scartata escludendo $k$ dall'insieme delle soluzioni.
Prima di procedere a questa esclusione mi sarebbe sembrato necessario verificare che non sia anche $f(k)=0$
Con questo non intendo affermare che l'equazione $f(x)/g(x)=0$ sia indeterminata per $x=k$ ma che per quel valore è indecidibile.
Provo con un esempio scemo
$((x-1)(x+1))/(x-1)+1=0$
Per $x=1$
Si trasforma in
$0/0+1=0$
Che può essere vera se
$0/0=-1$
Oppure falsa se
$0/0!=-1$
così non si può decidere se sia vera o falsa
Insomma vi domando:
perché anche in questi casi si dice che la frazione non ha significato?
Grazie
Risposte
cosa intendi per "espressione indeterminata"?
"codino75":
cosa intendi per "espressione indeterminata"?
Interpreto “$0/0$ è indeterminata” come:
è verificata per qualsiasi valore ma, volendo per la divisione un risultato unico e che questo risultato sia un numero, non è possibile né individuare quale questo sia né affermare che è l'insieme di quei valori che rendono $x*0=0$ vera.
Lo dico piano:
[size=75]Quindi dire “$0/0$ è indeterminata” è un modo per dire: ci sono più soluzioni, ma una alla volta.[/size]
Forse ho capito cosa vuoi suggerirmi: questa è solo una particolare forma di indeterminazione?
Medito.
no, io non volevo suggerirti nulla.
forse avrei dovuto chiedere: "cosa intendi per 'equazione indeterminata'?"
forse avrei dovuto chiedere: "cosa intendi per 'equazione indeterminata'?"
"silente":
Non mi è chiara una questione. Faccio esempio:
Provo con un esempio scemo
$((x-1)(x+1))/(x-1)+1=0$
Per $x=1$
Si trasforma in
$0/0+1=0$
Che può essere vera se
$0/0=-1$
Oppure falsa se
$0/0!=-1$
così non si può decidere se sia vera o falsa
Insomma vi domando:
perché anche in questi casi si dice che la frazione non ha significato?
Grazie
$((x-1)(x+1))/(x-1)+1=0$
$((x-1)(x+1)+(x-1))/(x-1)=0$
$0/0+1=0/0 $
e Peano si suicidò
"codino75":
no, io non volevo suggerirti nulla.
forse avrei dovuto chiedere: "cosa intendi per 'equazione indeterminata'?"
Menomale; è stata una meditazione infruttousa.
Intendevo dire che secondo me ci vorrebbe un nome che descriva il verificarsi di questa condizione come "indecidibile" (e che questo nome ovviamente non è "indeterminata". Ammetto che è stata una osservazione infelice.)
Il tuo rilievo mi ha dato spunto per una riflessione: esiste una equazione indeterminata? (intendendo qui "una equazione che ha un insieme di soluzioni ma in cui l'insieme non può determinarsi").
Grazie Codino
"krek":
$0/0+1=0/0 $
e Peano si suicidò
P.S. Krek non ti avevo letto. Purtroppo se la risposta sta lì non la ho capita.
secondo me dobbiamo metterci d'accordo preventivamente su un minimo di definizioni condivise.
da cio' che so, l'operazione di divisione non e' definita per divisore pari a 0, INDIPENDENTEMENTE DA QUANTO VALE IL DIVIDENDO.
quindi 0/0 non ha senso, cioe' non e' una operazione lecita nella matematica che ho sempre conosciuto io. se l'operazione non e' definita, non vuol dire che non so quanto e' il risultato, ma che proprio non posso applicare l'operazione di divisione se il il divisore e' pari a 0.
Cioe' non necessariamente tutte le operazioni devono essere definite su tutti gli operandi possibili.
forse e' questo il punto che ti crea dubbi.
ma qui sto andando ben oltre le mie conoscenze.
da cio' che so, l'operazione di divisione non e' definita per divisore pari a 0, INDIPENDENTEMENTE DA QUANTO VALE IL DIVIDENDO.
quindi 0/0 non ha senso, cioe' non e' una operazione lecita nella matematica che ho sempre conosciuto io. se l'operazione non e' definita, non vuol dire che non so quanto e' il risultato, ma che proprio non posso applicare l'operazione di divisione se il il divisore e' pari a 0.
Cioe' non necessariamente tutte le operazioni devono essere definite su tutti gli operandi possibili.
forse e' questo il punto che ti crea dubbi.
ma qui sto andando ben oltre le mie conoscenze.
[quote=codino75]...da cio' che so, l'operazione di divisione non e' definita per divisore pari a 0, INDIPENDENTEMENTE DA QUANTO VALE IL DIVIDENDO.
quindi 0/0 non ha senso,...[quote]
Ho capito la tua posizione ma mi vengono spontanee delle domande.
Cosa intendi allora con $0/0$ = indeterminata? (espressione che immagino tu abbia incontrato spesso)
o altrimenti detto: non la distingui da $1/0$?
Il tuo "non ha senso" comprende sia l'impossibile $1/0$ che l'indeterminato $0/0$?
Ciò che non capisco nella impostazione del mio libro è il motivo per il quale debba distinguere $0/0$ e $1/0$ in una frazione mentre questa distinzione scompare nelle equazioni.
quindi 0/0 non ha senso,...[quote]
Ho capito la tua posizione ma mi vengono spontanee delle domande.
Cosa intendi allora con $0/0$ = indeterminata? (espressione che immagino tu abbia incontrato spesso)
o altrimenti detto: non la distingui da $1/0$?
Il tuo "non ha senso" comprende sia l'impossibile $1/0$ che l'indeterminato $0/0$?
Ciò che non capisco nella impostazione del mio libro è il motivo per il quale debba distinguere $0/0$ e $1/0$ in una frazione mentre questa distinzione scompare nelle equazioni.
le cosiddette "forme indeterminate" hanno a che fare col concetto di limite di una funzione, non con il valore "puntuale" della funzione stessa.
esempio:
la funzione f(x)=sen(x)/x
per x che tende a 0, si dice che e' una forma indeterminata del tipo 0/0, secondo quanto riporta wikipedia qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Forma_indeterminata
(tuttavia nel caso della funzione da me indicata sappiamo invece che tale limite vale 1)
invece f(x) non puo' essere calcolata nel punto x=0, in quanto sto dividendo per 0 e cio' non e' una operazione che abbia significato.
cioe' sen(0)/0 non ha significato
so di averti confuso le idee.
esempio:
la funzione f(x)=sen(x)/x
per x che tende a 0, si dice che e' una forma indeterminata del tipo 0/0, secondo quanto riporta wikipedia qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Forma_indeterminata
(tuttavia nel caso della funzione da me indicata sappiamo invece che tale limite vale 1)
invece f(x) non puo' essere calcolata nel punto x=0, in quanto sto dividendo per 0 e cio' non e' una operazione che abbia significato.
cioe' sen(0)/0 non ha significato
so di averti confuso le idee.
..scusate ma visto che è un problema che mi sono posta anch'io non è ke me lo potete spiegare in parole più semplici?..grazie!
mmmm...ora rileggo bene i primi post di silente e se capisco bene quale e' la sua domanda cerco per domani di imbastire qualcosa di coerente...
se intanto silente (e/o a questo punto anche Lucky) volesse riformulare la domanda in modo magari piu' sintetico ..... forse potrebbe essere utile, anke per altri che intervenissero, per risolvere il Vs dubbio.
ciao
alex claude
se intanto silente (e/o a questo punto anche Lucky) volesse riformulare la domanda in modo magari piu' sintetico ..... forse potrebbe essere utile, anke per altri che intervenissero, per risolvere il Vs dubbio.
ciao
alex claude
..al dubbio di silente ho accostato un dubbio che mi porto dietro da un po'..sulle frazione algebriche bisogna trovare il campo di esistenza per escludere quei valori dell'incognita per i quali si elimina il denominatore perche altrimenti la frazione sarebbe impossibile..questo è quello che mi hanno insegnato alle medie..ma la frazione può anche essere indeterminata quando numeratore e denominatore sono uguali a zero..in questo caso non serve il campo di esistenza..mi chiedo se l'indeterminata è considerata comunque impossibile in questo caso..
bè da quel che so io una divisione non può avere divisore 0
poichè moltiplicando il divisore per il quoziente dovremmo riavere il dividendo
ex: 6:2= 3 ===> 2x3= 6
con lo 0 ciò non accade, perchè qualsiasi numero moltiplicato per 0 da come risultato 0, e quindi, moltiplicando divisore per il quoziente non avremo il dividendo
XD...LOL
poichè moltiplicando il divisore per il quoziente dovremmo riavere il dividendo
ex: 6:2= 3 ===> 2x3= 6
con lo 0 ciò non accade, perchè qualsiasi numero moltiplicato per 0 da come risultato 0, e quindi, moltiplicando divisore per il quoziente non avremo il dividendo
XD...LOL
..si avremo dividendo pari a zero..cioè una frazione indeterminata..
Premessa importantissima: quello che sto per dire va preso non con il beneficio del dubbio, ma con il beneficio che possa essere totalmente sbagliato.
Premesso quanto sopra, espongo il "mio punto di vista".
Siano $A$ un insieme non vuoto. Una operazione su $A$ è un'applicazione $\bot$ di $A \times A$ in $A$:
$\bot \ : \ A times A \rightarrow A, (x,y) \in A times A to x \bot y \in A$
Detto questo, le uniche vere operazioni tra quelle usualmente conosciute ed eseguite sui numeri sono l'addizione ($+$) e la moltiplicazione ($*$), mentre la sottrazione e la divisione sono delle false operazioni, nel senso che intanto sono definite perché sono definite le precedenti due e per mezzo di queste hanno senso.
In $\mathbb{R}$ la sottrazione $-$ tra $a,b \in \mathbb{R}$ è definita come la somma di $a$ con $b'$ opposto di $b$ e la divisione $/$ è definita come il prodotto di $a$ per $b^{-1}$ reciproco di $b$.
Questa cosa, di per sé scontata e priva di grosso significato è invece molto importante: ci dice, infatti, che perché la sottrazione e la divisione funzionino devono assolvere alle proprietà delle operazioni per mezzo delle quali sono definite.
La prima proprietà di una operazione è quella di essere un'applicazione, dunque, tornando alla divisione (nostro argomento del contendere), il risultato di una divisione deve esistere ed essere unico.
Sia ora $a \in \mathbb{R}\\{0}$: la divisione $a/0$ non è ben definita, poiché $0$ non ammette reciproco (*) e quindi non si può moltiplicare $a$ per il "fantomatico" reciproco di $0$.
Sia ora $a=0$: la divisione $0/0$ non è ugualmente ben definita, perché, ancora, il reciproco di $0$ non esiste.
In entrambi i casi ci si trova nell'impossibilità di applicare la "definizione" di divisione, quindi in entrambi i casi la divisione non è possibile.
La dicitura "indeterminato" viene fuori togliendo alla divisione il suo taglio di "operazione" in una struttura algebrica (prima parte della nota (*)): se non si vuole ragionare in termini di reciproco in un campo, allora, con riferimento al caso $a=0$ si può dire che $forall b in \mathbb{R}, bcdot0=0$, quindi il risultato di $0/0$ non è unico, è, appunto, "indeterminato", ma questo "indeterminato" ha come sostanza il fatto che $0/0$ non è ben definito.
Quindi la divisione per $0$ non è ben definita, quindi non è possibile.
Dire che $a/0$ è impossibile o indeterminato è, a mio avviso, un capriccio di stile, poiché la sotanza è la stessa: la struttura algebrica nella quale si lavora non ammette quella divisione che, quindi, è, per ovvi motivi lingustici, impossibile.
Volendo portare avanti il capriccio di stile anche per le equazioni, possiamo anzitutto notare una cosa: i testi, tradizionalmente, quando parlano di $C.E.$ parlano di condizioni che "evitano la perdita di senso dell'equazione": ordunque, sia che diciamo che la divisione è impossibile sia che diciamo che essa è indeterminata, la sostanza è che essa non è ben definita e, quindi, essa è priva di senso.
Quanto alle forme indeterminate (o anche forme di indecisione) questa, come ricordato dall'amico codino75, sono cose che riguardano i limiti e, se ne è discusso anche altre volte su questo forum, la loro notazione può generare qualche dubbio dacché ricorda operazioni algebriche e, difatti, alcuni testi pongono queste forme di indecisione tra parentesi quadre onde porre l'accento sulla loro natura non algebrica: la forma di indecisione $[0/0]$ si ha quando data $(f(x))/(g(x))$ passando al limite per $x to x_0$ accade che $f(x) to 0$ e $g(x) to 0$, ma la notazione $[0/0]$ non rimanda a $0/0$ dell'algebra.
______________________________
(*) Se non vi piace ragionare in termini di campo (in ogni campo che abbia tra loro distinti l'elemento neutro della somma e quello del prodotto, il reciproco del primo elemento neutro non esiste), e preferite ragionare in termini di divisione euclidea di $\mathbb{Z}$ estesa ad $\mathbb{R}$, allora possiamo dire che $\nexists b \in \mathbb{R} : b cdot 0 != 0$.
Premesso quanto sopra, espongo il "mio punto di vista".
Siano $A$ un insieme non vuoto. Una operazione su $A$ è un'applicazione $\bot$ di $A \times A$ in $A$:
$\bot \ : \ A times A \rightarrow A, (x,y) \in A times A to x \bot y \in A$
Detto questo, le uniche vere operazioni tra quelle usualmente conosciute ed eseguite sui numeri sono l'addizione ($+$) e la moltiplicazione ($*$), mentre la sottrazione e la divisione sono delle false operazioni, nel senso che intanto sono definite perché sono definite le precedenti due e per mezzo di queste hanno senso.
In $\mathbb{R}$ la sottrazione $-$ tra $a,b \in \mathbb{R}$ è definita come la somma di $a$ con $b'$ opposto di $b$ e la divisione $/$ è definita come il prodotto di $a$ per $b^{-1}$ reciproco di $b$.
Questa cosa, di per sé scontata e priva di grosso significato è invece molto importante: ci dice, infatti, che perché la sottrazione e la divisione funzionino devono assolvere alle proprietà delle operazioni per mezzo delle quali sono definite.
La prima proprietà di una operazione è quella di essere un'applicazione, dunque, tornando alla divisione (nostro argomento del contendere), il risultato di una divisione deve esistere ed essere unico.
Sia ora $a \in \mathbb{R}\\{0}$: la divisione $a/0$ non è ben definita, poiché $0$ non ammette reciproco (*) e quindi non si può moltiplicare $a$ per il "fantomatico" reciproco di $0$.
Sia ora $a=0$: la divisione $0/0$ non è ugualmente ben definita, perché, ancora, il reciproco di $0$ non esiste.
In entrambi i casi ci si trova nell'impossibilità di applicare la "definizione" di divisione, quindi in entrambi i casi la divisione non è possibile.
La dicitura "indeterminato" viene fuori togliendo alla divisione il suo taglio di "operazione" in una struttura algebrica (prima parte della nota (*)): se non si vuole ragionare in termini di reciproco in un campo, allora, con riferimento al caso $a=0$ si può dire che $forall b in \mathbb{R}, bcdot0=0$, quindi il risultato di $0/0$ non è unico, è, appunto, "indeterminato", ma questo "indeterminato" ha come sostanza il fatto che $0/0$ non è ben definito.
Quindi la divisione per $0$ non è ben definita, quindi non è possibile.
Dire che $a/0$ è impossibile o indeterminato è, a mio avviso, un capriccio di stile, poiché la sotanza è la stessa: la struttura algebrica nella quale si lavora non ammette quella divisione che, quindi, è, per ovvi motivi lingustici, impossibile.
Volendo portare avanti il capriccio di stile anche per le equazioni, possiamo anzitutto notare una cosa: i testi, tradizionalmente, quando parlano di $C.E.$ parlano di condizioni che "evitano la perdita di senso dell'equazione": ordunque, sia che diciamo che la divisione è impossibile sia che diciamo che essa è indeterminata, la sostanza è che essa non è ben definita e, quindi, essa è priva di senso.
Quanto alle forme indeterminate (o anche forme di indecisione) questa, come ricordato dall'amico codino75, sono cose che riguardano i limiti e, se ne è discusso anche altre volte su questo forum, la loro notazione può generare qualche dubbio dacché ricorda operazioni algebriche e, difatti, alcuni testi pongono queste forme di indecisione tra parentesi quadre onde porre l'accento sulla loro natura non algebrica: la forma di indecisione $[0/0]$ si ha quando data $(f(x))/(g(x))$ passando al limite per $x to x_0$ accade che $f(x) to 0$ e $g(x) to 0$, ma la notazione $[0/0]$ non rimanda a $0/0$ dell'algebra.
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(*) Se non vi piace ragionare in termini di campo (in ogni campo che abbia tra loro distinti l'elemento neutro della somma e quello del prodotto, il reciproco del primo elemento neutro non esiste), e preferite ragionare in termini di divisione euclidea di $\mathbb{Z}$ estesa ad $\mathbb{R}$, allora possiamo dire che $\nexists b \in \mathbb{R} : b cdot 0 != 0$.
ad esempio in un'equazione fratta che ha come numeratore x^2+x-2 e come denominatore x-1 quando faccio la condizione di esistenza dovrei escludere x=1 perchè altrimenti la divisione non avrebbe senso..in teoria..ma se sostituisco x=1 al numetratore e al denominatore ottengo un'indeterminata..all come mi devo comportare?
praticamente indeterminata=impossibile?
"Lucky91":
praticamente indeterminata=impossibile?
Da un punto di vista algebrico, direi di sì: se è indeterminata, ogni numero moltiplicato per $0$ restituisce $0$, dunque la divisione è ugualmente non definita e, pertanto, priva di senso. Una cosa priva di senso è ovvio che sia impossibile.
..grazie 1000..spiegazione alquanto esaustiva..non posso pensare di aver prestato tutta questa attenzione nel biennio ad una cosa che in realtà è la medesima ai fini delle equazioni..comunque grazie ancora..a presto!!ciaooo!
Grazie Gentili Signori.
Se il Buon WiZaRd (la cui posizione mi pare coincida, o almeno sia compatibile, con quella di Codino) come spero è nel giusto ho capito.
Discriminare tra frazioni numeriche e algebriche per oscuri motivi mi dava un certo prurito.
Ciao e grazie ancora.
Se il Buon WiZaRd (la cui posizione mi pare coincida, o almeno sia compatibile, con quella di Codino) come spero è nel giusto ho capito.
Discriminare tra frazioni numeriche e algebriche per oscuri motivi mi dava un certo prurito.
Ciao e grazie ancora.
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