Formule volume di rotazione
salve a tutti,
sono nuova del forum quindi spero di non fare danni e di inserire correttamente il post
La mia domanda riguarda le diverse formule dei volumi di rotazioni dei solidi attraverso l'integrale definito.
Infatti non riesco a capire che formula applicare quando
- rotazione attorno asse x
- rotazione attorno asse y
- rotazione attorno asse x=k
- rotazione attorno asse y=h
Spero che qualcuno riesca a rispondermi perchè con la maturità alle porte è un bel problema.
Grazie)
sono nuova del forum quindi spero di non fare danni e di inserire correttamente il post
La mia domanda riguarda le diverse formule dei volumi di rotazioni dei solidi attraverso l'integrale definito.
Infatti non riesco a capire che formula applicare quando
- rotazione attorno asse x
- rotazione attorno asse y
- rotazione attorno asse x=k
- rotazione attorno asse y=h
Spero che qualcuno riesca a rispondermi perchè con la maturità alle porte è un bel problema.
Grazie
)
Risposte
Ciao Giulia e benvenuta,
provo a rispondere anche se in maniera forse un po' generica. Poi se vuoi postare qualche esercizio che ti crea difficoltà vediamo di risolverlo insieme.
1. Rotazione attorno all'asse $x$: è il caso più facile. Devi immaginare il solido "affettato" in tanti cilindri di spessore infinitesimo ($dx$) e di raggio pari all'ordinata del punto, cioè a $f(x)$. Il volume di un singolo cilindro è \[\pi\cdot r^2\cdot h = \pi \cdot f(x)^2\cdot dx\] Il volume totale lo ottieni integrando tra gli estremi di integrazione opportuni.
2. Rotazione attorno all'asse $y$: analogo al precedente ma stavolta la $x$ e la $y$ si scambiano i ruoli. Le "fette" saranno "orizzontali" e il raggio sarà pari all'ascissa dei punti. Quindi devi trovare la funzione inversa, cioè quella che fa corrispondere alla $y$ una $x$. Il volume di una "fetta" sarà quindi \[\pi\left[f^{-1}(y)\right]^2\cdot dy\] e il volume totale lo ottieni ancora per integrazione.
3. e 4. analoghi ai casi (1) e (2), dopo una opportuna traslazione.
provo a rispondere anche se in maniera forse un po' generica. Poi se vuoi postare qualche esercizio che ti crea difficoltà vediamo di risolverlo insieme.
1. Rotazione attorno all'asse $x$: è il caso più facile. Devi immaginare il solido "affettato" in tanti cilindri di spessore infinitesimo ($dx$) e di raggio pari all'ordinata del punto, cioè a $f(x)$. Il volume di un singolo cilindro è \[\pi\cdot r^2\cdot h = \pi \cdot f(x)^2\cdot dx\] Il volume totale lo ottieni integrando tra gli estremi di integrazione opportuni.
2. Rotazione attorno all'asse $y$: analogo al precedente ma stavolta la $x$ e la $y$ si scambiano i ruoli. Le "fette" saranno "orizzontali" e il raggio sarà pari all'ascissa dei punti. Quindi devi trovare la funzione inversa, cioè quella che fa corrispondere alla $y$ una $x$. Il volume di una "fetta" sarà quindi \[\pi\left[f^{-1}(y)\right]^2\cdot dy\] e il volume totale lo ottieni ancora per integrazione.
3. e 4. analoghi ai casi (1) e (2), dopo una opportuna traslazione.
minomic, di solito molto attento e preciso, questa volta ha scambiato fra loro due lettere: il caso 1 si riferisce alla rotazione attorno all'asse $x$ ed il caso 2 all'asse $y$.
Per quest'ultima rotazione ci sono anche altre due formule, poco note ma comode quando è difficile calcolare la funzione inversa di $f(x)$; una è
$V=2pi int_a^b xf(x)dx$
che dà il volume ottenuto ruotando la superficie fra la curva e l'asse $x$. L'altra è
$V=pi int_a^b x^2f'(x)dx$
che dà il volume ottenuto ruotando la superficie fra la curva e l'asse $y$.
Per maggiori informazioni su queste due formule puoi guardare questo topic
Per quest'ultima rotazione ci sono anche altre due formule, poco note ma comode quando è difficile calcolare la funzione inversa di $f(x)$; una è
$V=2pi int_a^b xf(x)dx$
che dà il volume ottenuto ruotando la superficie fra la curva e l'asse $x$. L'altra è
$V=pi int_a^b x^2f'(x)dx$
che dà il volume ottenuto ruotando la superficie fra la curva e l'asse $y$.
Per maggiori informazioni su queste due formule puoi guardare questo topic
"giammaria":
minomic, di solito molto attento e preciso, questa volta ha scambiato fra loro due lettere: il caso 1 si riferisce alla rotazione attorno all'asse $x$ ed il caso 2 all'asse $y$.
E' vero! Giuro che avevo pensato "correttamente" mentre scrivevo ma ho davvero scambiato $x$ e $y$ in modo sbadato!
Spero di non aver fatto ulteriore confusione a Giulia, comunque correggo il post precedente.
"giammaria":
Per quest'ultima rotazione ci sono anche altre due formule, poco note ma comode quando è difficile calcolare la funzione inversa di $f(x)$; una è
$V=2pi int_a^b xf(x)dx$
che dà il volume ottenuto ruotando la superficie fra la curva e l'asse $x$. L'altra è
$V=pi int_a^b x^2f'(x)dx$
che dà il volume ottenuto ruotando la superficie fra la curva e l'asse $y$.
Queste proprio non le conoscevo!
In ogni caso voglio provare a tranquillizzare Giulia: mi è capitato di vedere che all'esame di maturità, se il calcolo è complesso, chiedono solo di impostare l'integrale per il calcolo del volume in una rotazione attorno all'asse $y$. Se invece è un calcolo "facile" allora chiedono di portarlo fino in fondo.
Confermi giammaria?
La mia esperienza è un po' diversa ma egualmente tranquillizzante: il volume di una rotazione attorno all'asse $y$ viene chiesto alla maturità solo quando è facile sia invertire la formula che calcolare il successivo integrale.
Confermo quanto detto da entrambi: solitamente la rotazione attorno all'asse $y$ viene chiesto alla maturità solo quando è facile sia invertire la formula che calcolare il successivo integrale, ma l'unica volta in cui il calcolo dell'inversa era discretamente semplice, mentre quello dell'integrale poi risultava alquanto complicato la richiesta è stata di impostare l'integrale per il calcolo del volume senza risolverlo.
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