Formule di sdoppiamento per circonferenza

[luke071]

Ciao a tutti.
Ho da risolvere il seguente problema.
Trovare l'equazione della circonferenza tangente alla retta 3X-4Y-7=0 nel punto di coordinate C (1;-1) e che stacchi sull'asse x un segmento di misura 8.
L'ho risolto esattamente sia usando la circonferenza generica ed imponendo le varie condizioni che usando il fascio.
Poi ho provato a risolverlo usando le formule di sdoppiamento.
Ho preso la circonferenza generica X^2 + Y^2 + aX + bY + c. ho applicato le formule di sdoppiamento per il punto C trovando una retta con i coefficienti funzione dei parametri a,b,c poi ho uguagliato questi coefficienti a quelli della retta data.
Come risultato ho un sistema semplicissimo che mia da a,b,c.
Ovviamente c'è qualche errore, con queste condizioni mi risulta una sola circonferenza tangente alla retta in C, quando dovrebbero essere infinite ( un fascio ).
Ciò che non capisco è proprio dov'è l'errore
Dove ho sbagliato?
Ciao e grazie dell'attenzione.

[cozzataddeo]

Innanzitutto benvenuto nel forum!
Per scrivere le formule con maggior chiarezza ti consiglio di utilizzare la sintassi mathml, di cui trovi una breve spiegazione in questo stesso forum. Il suo uso è molto semplice e consente agli altri utenti di capire meglio quello che scrivi.

Detto questo, passiamo al tuo problema.

Se non ho sbagliato i conti (meglio che controlli... ) l'equazione di sdoppiamento dovrebbe fornirti la retta

$x + y + a(x+1)/2 + b(y-1)/2 + c = 0$ da cui $(a+2)x + (b+2)y + 2c = 0$

ed essendo la tua retta

$3x-4y-7=0$

suppongo tu abbia imposto le seguenti uguaglianze

$a+2=3$
$b+2=-4$
$2c=-7$

Ecco, l'errore sta proprio nel modo in cui sono imposte quelle 3 uguaglianze. Infatti le due equazioni (quella fornita dal testo dell'esercizio e quella ricavata dalla formula di sdoppiamento) rappresentano la stessa retta non solo se i coefficienti sono rispettivamente uguali ma anche se sono, in generale, proporzionali.
Ad esempio le seguenti equazioni rappresentano la stessa retta anche se i coefficienti dei termini corrispondenti non sono uguali:

$3x-4y-7=0$
$6x-8y-14=0$
$3/5x-4/5y-7/5=0$
$3sqrt(2)x-4sqrt(2)y-7sqrt(2)=0$

In altre parole le uguaglianze da imporre sono dunque

$a+2=3k$
$b+2=-4k$
$2c=-7k$

con $k \in RR-{0}$ . Dalle precedenti equazioni ci si ricavano i parametri $a$, $b$ e $c$ in funzione di $k$, i quali sostituiti nell'equazione generica della circonferenza ti forniscono il fascio di circonferenze tangenti alla retta data nel punto C, che è quello che ti aspettavi di trovare.

Spero di aver chiarito la tua perplessità.

[luke071]

Grazie, sei stato chiarissimo.