Formule di prostaferesi

[Bad90]

Non sto capendo questo punto:



Come fa ad ottenere $ alpha = (p+q)/2 $ e $ beta = (p-q)/2 $

[Bad90]

Altra cosa che non sto capendo è un esercizio guidato:

Verificare l'uguaglianza seguente:

$ sen 50^o + sen 40^o + sen 20^o + sen 10^o = sen 100^o + sen 110^o $

Il testo dice che applicando le formule di prostaferesi, si ha:

$ (sen 50^o + sen10^o) + (sen 40^o + sen 20^o) = sen 110^o + sen 100^o $

$ 2sen 30^o cos 20^o + 2sen 30^o cos 10^o = 2sen 105^o cos 5^o $

poi fa altri passaggi, ma non vorrei capire prima questi che ho scritto, poi mi dedico ai passaggi successivi!

Come ha fatto a fare quei passaggi che ho scritto

Vi ringrazio anticipatamente!

[giammaria2]

Le formule per $alpha, beta$ sono state ottenute risolvendo il sistema scritto; il metodo più rapido per farlo è somma e sottrazione.
Per l'esercizio successivo, ha fatto a mente questi calcoli: $(50+10)/2=30$ e $(50-10)/2=20$ e quindi scrive
$sen50°+sen10°=2sen30°cos20°$
In modo analogo lavora per le altre somme.

[Bad90]

E sul secondo membro, come opera

$ = sen 100^o + sen 110^o $

Mi sembra sia nello stesso modo! Ok, ma poi nel passaggio successivo, arriva a questo:

$ 2*1/2 cos 20^o + 2*1/2 cos 10^o = 2sen(15^o + 90^o) cos 5^o $

Come ha fatto ad arrivare a quest'ultimo Penso perchè $ sen 30^o = 1/2 $ ....., e sostituendo allora arriva a quel passaggio!

Mentre nel secondo membro si ha:

$ = sen 100^o + sen 110^o $ che associando arriva a $ = 2sen (15^o + 90^o) cos 5^o $ e poi non sto ricordando come fa ad arrivare a questo $ 2cos 15^o cos 5^o $!
Dici che deriva dal fatto che:

$ sen (alpha + 90) = cos alpha $



Correggimi se sbaglio....
Associando in questo modo $ sen (alpha + 90) = cos alpha $, si arriva a $ sen (15 + 90) = cos 15 $, infatti il secondo angolo, cade nel secondo quadrante e nel secondo quadrante, il $ sen alpha $ è positivo, quindi il $ cos alpha $ resta positivo e diventa $ cos alpha = cos 15^o $ Giusto

Poi vediamo se ricordo bene quando associando si presentano dei segni negativi.......
E' giusto dire che si presentano valori negativi quando ci sono angoli di $ 180^o $

Insomma mi sembra ovvio che se ho un angolo di $ 180^o $ , si ha sempre l'opposto di quell'angolo che si sta considerando, quindi se ho es. $ cos (180^o + alpha) = -cos alpha $

Giusto

[giammaria2]

Bene. Per la domanda "E' giusto dire che si presentano valori negativi quando ci sono angoli di 180°?" la risposta è "Non sempre". Infatti $sin(180°-alpha)=sin alpha$

[Bad90]

"giammaria":Bene. Per la domanda "E' giusto dire che si presentano valori negativi quando ci sono angoli di 180°?" la risposta è "Non sempre". Infatti $sin(180°-alpha)=sin alpha$

Ok!
Mentre è giusto dire che $ cos 60^o = 2cos 15^o $

Insomma, quel $ 2 $ moltiplica il $ 15^o $ dando in realtà $ 2*15^o = 30^o $ , giusto

[giammaria2]

"Bad90": Mentre è giusto dire che $ cos 60^o = 2cos 15^o $

No, neanche se al posto di 60° scrivi 30°: $cos30°=cos(2*15°)=cos^2 15°-sin^2 15°$

[Bad90]

"giammaria":$cos30°=cos(2*15°)=cos^2 15°-sin^2 15°$

Aspetta che voglio ricordare da dove viene questa uguaglianza che hai scritto
Deriva dalle formule di duplicazione
Quindi nel caso delle formule di prostaferesi, quel $ 2 $ deriva dalla dimostrazione con i vari passaggi ......., si arriva ad una somma che porta a quel due..., es. $ cos alpha + cos alpha = 2 cos alpha $ .
Giusto

[giammaria2]

La formula che ho scritto deriva proprio da quelle di duplicazione.
Non ho capito bene l'altra domanda e quindi posso solo rispondere che la somma che fai è giusta.

[Bad90]

Intendo che il due che compare nella formula di duplicazione, deriva da una somma tipo quella che ho fatto io, ovviamente intendo quei passaggi della dimostrazione che porta alla formula finale, tutto qui'!
Hai ragione, mi sono espresso male!