Formule di bisezione e prostaferesi
salve. Ho problemi con lìapplicazione delle formule di bisezione e prastaferesi con le seguenti identità:
1)sen^2 1/2a - sen^2 1/2 b / sen a +sen b = 1/2 tg a-b/2
2)sen2a-sen4a/cos4a-cos2a=cotg3a
Non chiedo lo svolgimento, ma solo la cortesia, per chiunque sappia applicarle, la spiegazione dei processi.
Ringrazio anticipatamente,
bad. alex
1)sen^2 1/2a - sen^2 1/2 b / sen a +sen b = 1/2 tg a-b/2
2)sen2a-sen4a/cos4a-cos2a=cotg3a
Non chiedo lo svolgimento, ma solo la cortesia, per chiunque sappia applicarle, la spiegazione dei processi.
Ringrazio anticipatamente,
bad. alex
Risposte
"bad.alex":
1)$(sen^2(1/2a) - sen^2(1/2b)) /(sen a +sen b) = 1/2 tg((a-b)/2)$
2)$(sen2a-sen4a)/(cos4a-cos2a)=cotg3a$
Sono queste?
Per la prima usa la bisezione sui seni al numeratore, e le formule di prostaferesi al denominatore. Raccogli fuori dalla frazione $\frac{1}{2}$ e applica la prostaferesi al numeratore. Semplifica e il gioco è fatto.
A dire il vero a me torna $-\frac{1}{2}"tg"(\frac{a-b}{2})$, ma l'ho fatto in fretta, ed è molto probabile che abbia sbagliato.
A dire il vero a me torna $-\frac{1}{2}"tg"(\frac{a-b}{2})$, ma l'ho fatto in fretta, ed è molto probabile che abbia sbagliato.
Per la seconda usa le formule di prostaferesi al numeratore e al denominatore, semplifica e il gioco è fatto.
"bad.alex":
salve. Ho problemi con lìapplicazione delle formule di bisezione e prastaferesi con le seguenti identità:
1)sen^2 1/2a - sen^2 1/2 b / sen a +sen b = 1/2 tg a-b/2
2)sen2a-sen4a/cos4a-cos2a=cotg3a
Non chiedo lo svolgimento, ma solo la cortesia, per chiunque sappia applicarle, la spiegazione dei processi.
Ringrazio anticipatamente,
bad. alex
Per la 1) applico le formule di bisezione e avrò le formule rispettivamenteper sen a/2 se se estrae la radice quadrata. Come faccio ad applicare poi le formule di prostaferesi?
per la 2) invece, il dilemma è un altro: devo scrivere sen2a + sen (2a+ 2a), raccogliere a fattor comune rispettivamente 2 per numeratore e denominatore...? Sono in confusione...
Potete ricondurmi sulla retta via?
Grazie,
alex
"Tipper":
Per la seconda usa le formule di prostaferesi al numeratore e al denominatore, semplifica e il gioco è fatto.
usando per la seconda le formule di prostaferesi come devo considerare sen 2a e sen 4a?
quale operazione devo compiere....sono nel caos....
$\sin(2a)-\sin(4a)=2\cos(\frac{2a+4a}{2})\sin(\frac{2a-4a}{2})=2\cos(3a)\sin(-a)=-2\cos(3a)\sin(a)$.
Chiaro ora?
Chiaro ora?
Se applichi le formule di bisezione nella prima ottieni: $\sin^2(\frac{1}{2}a)=\frac{1-\cos(a)}{2}$.
"Tipper":
Se applichi le formule di bisezione nella prima ottieni: $\sin^2(\frac{1}{2}a)=\frac{1-\cos(a)}{2}$.
cosa è frac? domanda stupida....adesso provo. di essere è più chiaro. Spero di riuscire. Grazie
bad.alex per visualizzare bene le formule devi installare mathml, vai qui per vedere come fare:
http://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=6287
http://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=6287
"bad.alex":[/quote]
[quote="Tipper"]Se applichi le formule di bisezione nella prima ottieni: $\sin^2(\frac{1}{2}a)=\frac{1-\cos(a)}{2}$.
Ho applicato la formula, seguendo il ragionamento da te scritto. Per cos4a- cos2a si farà : -2 sen (4a+2a) /2 * sen ( 4a - 2a) / 2....ho un piccolo problema...come svolgo adesso i calcoli?
per quanto riguarda quella risolvibile con la formula di bisezione: stesso procedimento va per sen ^2 1/2 b ma il passo seguente è prostaferesi....e non riesco a svolgerlo....Ti chiedo scusa per il tempo che ti sto facendo perdere, ma ho bisogno davvero di capire.
alex [/code]
alex [/code]
Utilizzando le formule di prostaferesi al numeratore ottieni: $2\cos(3a)\sin(-a)$, mentre al denominatore $-2\sin(3a)\sin(a)$.
$\sin(-a)=-\sin(a)$, perché $\sin(\cdot)$ è una funzione dispari, quindi, semplificando il $2$, semplificando $\sin(a)$, ottieni $\frac{\cos(3a)}{\sin(3a)}=\cot(3a)$.
Ovviamente tutto questo ha senso per $\sin(3a) \ne 0$, ovvero $a \ne k\frac{\pi}{3}$, $\forall k \in \mathbb{Z}$.
$\sin(-a)=-\sin(a)$, perché $\sin(\cdot)$ è una funzione dispari, quindi, semplificando il $2$, semplificando $\sin(a)$, ottieni $\frac{\cos(3a)}{\sin(3a)}=\cot(3a)$.
Ovviamente tutto questo ha senso per $\sin(3a) \ne 0$, ovvero $a \ne k\frac{\pi}{3}$, $\forall k \in \mathbb{Z}$.
"Tipper":
Utilizzando le formule di prostaferesi al numeratore ottieni: $2\cos(3a)\sin(-a)$, mentre al denominatore $-2\sin(3a)\sin(a)$.
$\sin(-a)=-\sin(a)$, perché $\sin(\cdot)$ è una funzione dispari, quindi, semplificando il $2$, semplificando $\sin(a)$, ottieni $\frac{\cos(3a)}{\sin(3a)}=\cot(3a)$.
Ovviamente tutto questo ha senso per $\sin(a) \ne 0$, ovvero $a \ne k\pi$, $\forall k \in \mathbb{Z}$.
Grazie. Finalmente l'ho capito!!!! passando a quella di bisezione...là sto avendo parecchi problemi a confronto....
"bad.alex":
[quote="Tipper"]Utilizzando le formule di prostaferesi al numeratore ottieni: $2\cos(3a)\sin(-a)$, mentre al denominatore $-2\sin(3a)\sin(a)$.
$\sin(-a)=-\sin(a)$, perché $\sin(\cdot)$ è una funzione dispari, quindi, semplificando il $2$, semplificando $\sin(a)$, ottieni $\frac{\cos(3a)}{\sin(3a)}=\cot(3a)$.
Ovviamente tutto questo ha senso per $\sin(a) \ne 0$, ovvero $a \ne k\pi$, $\forall k \in \mathbb{Z}$.
Grazie. Finalmente l'ho capito!!!! passando a quella di bisezione...là sto avendo parecchi problemi a confronto....[/quote]
piccola parentesi: quali sono le operazioni da eseguire per far sì che sia 3a ( sia al numeratore che al denominatore)? alla fine so che somma e differenza devono dare rispettivamente 2 e 4 ( 3+1/3-1) ma prof non l'ha spiegato.
In generale $\sin^2(p)=\frac{1-\cos(2p)}{2}$, quindi applicando la bisezione al numeratore e la prostaferesi al denominatore si ottiene:
$\frac{\frac{1-\cos(a)}{2}-\frac{1-\cos(b)}{2}}{2\sin(\frac{a+b}{2})\cos(\frac{a-b}{2})}$.
Facendo un po' di conti, neanche troppi, si arriva a questa forma:
$\frac{1}{2}\frac{\cos(b)-cos(a)}{2\sin(\frac{a+b}{2})\cos(\frac{a-b}{2})}$
Applicando le formule di prostaferesi al numeratore si trova:
$\frac{1}{2}\frac{-2\sin(\frac{a+b}{2})\sin(\frac{a-b}{2})}{2\sin(\frac{a+b}{2})\cos(\frac{a-b}{2})}$
Ora con opportune semplificazioni si arriva facilmente al risultato, tenendo conto che $a+b \ne 2k\pi \forall k \in \mathbb{Z}$ e $a-b \ne \pi(2n+1) \forall n \in \mathbb{Z}$.
$\frac{\frac{1-\cos(a)}{2}-\frac{1-\cos(b)}{2}}{2\sin(\frac{a+b}{2})\cos(\frac{a-b}{2})}$.
Facendo un po' di conti, neanche troppi, si arriva a questa forma:
$\frac{1}{2}\frac{\cos(b)-cos(a)}{2\sin(\frac{a+b}{2})\cos(\frac{a-b}{2})}$
Applicando le formule di prostaferesi al numeratore si trova:
$\frac{1}{2}\frac{-2\sin(\frac{a+b}{2})\sin(\frac{a-b}{2})}{2\sin(\frac{a+b}{2})\cos(\frac{a-b}{2})}$
Ora con opportune semplificazioni si arriva facilmente al risultato, tenendo conto che $a+b \ne 2k\pi \forall k \in \mathbb{Z}$ e $a-b \ne \pi(2n+1) \forall n \in \mathbb{Z}$.
"bad.alex":
[quote="bad.alex"][quote="Tipper"]Utilizzando le formule di prostaferesi al numeratore ottieni: $2\cos(3a)\sin(-a)$, mentre al denominatore $-2\sin(3a)\sin(a)$.
$\sin(-a)=-\sin(a)$, perché $\sin(\cdot)$ è una funzione dispari, quindi, semplificando il $2$, semplificando $\sin(a)$, ottieni $\frac{\cos(3a)}{\sin(3a)}=\cot(3a)$.
Ovviamente tutto questo ha senso per $\sin(3a) \ne 0$, ovvero $a \ne k\frac{\pi}{3}$, $\forall k \in \mathbb{Z}$.
Grazie. Finalmente l'ho capito!!!! passando a quella di bisezione...là sto avendo parecchi problemi a confronto....[/quote]
piccola parentesi: quali sono le operazioni da eseguire per far sì che sia 3a ( sia al numeratore che al denominatore)? alla fine so che somma e differenza devono dare rispettivamente 2 e 4 ( 3+1/3-1) ma prof non l'ha spiegato.[/quote]
$3a$ deriva da $\frac{2a+4a}{2}$.
"Tipper":
[quote="bad.alex"][quote="bad.alex"][quote="Tipper"]Utilizzando le formule di prostaferesi al numeratore ottieni: $2\cos(3a)\sin(-a)$, mentre al denominatore $-2\sin(3a)\sin(a)$.
$\sin(-a)=-\sin(a)$, perché $\sin(\cdot)$ è una funzione dispari, quindi, semplificando il $2$, semplificando $\sin(a)$, ottieni $\frac{\cos(3a)}{\sin(3a)}=\cot(3a)$.
Ovviamente tutto questo ha senso per $\sin(3a) \ne 0$, ovvero $a \ne k\frac{\pi}{3}$, $\forall k \in \mathbb{Z}$.
Grazie. Finalmente l'ho capito!!!! passando a quella di bisezione...là sto avendo parecchi problemi a confronto....[/quote]
piccola parentesi: quali sono le operazioni da eseguire per far sì che sia 3a ( sia al numeratore che al denominatore)? alla fine so che somma e differenza devono dare rispettivamente 2 e 4 ( 3+1/3-1) ma prof non l'ha spiegato.[/quote]
$3a$ deriva da $\frac{2a+4a}{2}$.[/quote]
2a +4a? come fa a risultare 3a?...forse 2a(2+1)....? una nota:al numeratore dell'esercizio di bisezione è presente il segno negativo....il risultato dell'identità è positivo...
Detto a parole: due a più quattro a fratto due.
Nel mio secondo post ti ho detto che la prima identità mi torna con un segno cambiato, forse ho sbagliato a scrivere il testo.
Nel mio secondo post ti ho detto che la prima identità mi torna con un segno cambiato, forse ho sbagliato a scrivere il testo.
"Tipper":
Detto a parole: due a più quattro a fratto due.
Nel mio secondo post ti ho detto che la prima identità mi torna con un segno cambiato, forse ho sbagliato a scrivere il testo.
hai ragione........semplificazione...è vero...però i tuoi conti tornano. non mi meraviglio se vi è un errore nel testo. spesso capita. ciao e ancora mille grazie.
alex
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