Formula della distanza di un punto da una retta
Oggi a scuola nell'ora di matematica abbiamo affrontato un nuovo argomento di geometria analitica, ovvero la distanza di un punto da una retta. Abbiamo appurato che la formula che permette il calcolo di questa distanza è:
La nostra professoressa ha eseguito la dimostrazione con esempi numerici: ha cioè trovato una certa distanza con la formula, ha poi seguito un'altra strada per trovare la stessa distanza (intersezione delle rette perpendicolari) e, poichè i valori numerici ottenuti erano gli stessi, ci ha mostrato la veridicità di questa formula.
Ci ha infatti detto che si preferisce non affrontare in classe la dimostrazione generica della formula, poichè richiede molti calcoli complessi. Lo stesso dice anche il libro.
Dunque non trovavo da nessuna parte la dimostrazione ma mi ero incuriosito troppo, così, assieme ad un mio amico (mav), abbiamo provato a dimostrare da noi questa formula...ma non ci siamo riusciti :blush!
Dunque se c'è qualcuno che sa come fare, postate pure!!!
[math]d(P;r)=\frac{\left | ax_0+by_0+c \right |}{\sqrt{a^2+b^2}}[/math]
La nostra professoressa ha eseguito la dimostrazione con esempi numerici: ha cioè trovato una certa distanza con la formula, ha poi seguito un'altra strada per trovare la stessa distanza (intersezione delle rette perpendicolari) e, poichè i valori numerici ottenuti erano gli stessi, ci ha mostrato la veridicità di questa formula.
Ci ha infatti detto che si preferisce non affrontare in classe la dimostrazione generica della formula, poichè richiede molti calcoli complessi. Lo stesso dice anche il libro.
Dunque non trovavo da nessuna parte la dimostrazione ma mi ero incuriosito troppo, così, assieme ad un mio amico (mav), abbiamo provato a dimostrare da noi questa formula...ma non ci siamo riusciti :blush!
Dunque se c'è qualcuno che sa come fare, postate pure!!!
Risposte
ti posto questi link ma non so se fanno al caso tuo. risp.
http://www.ripmat.it/mate/d/dc/dceh.html
http://it.wikipedia.org/wiki/Distanza_di_un_punto_da_una_retta
http://www.itis.biella.it/biellascuole/Superiori/Scheda4.PDF
http://www.ripmat.it/mate/d/dc/dceh.html
http://it.wikipedia.org/wiki/Distanza_di_un_punto_da_una_retta
http://www.itis.biella.it/biellascuole/Superiori/Scheda4.PDF
In realtà è molto semplice.... Basta che ti ricordi che cos'è la distanza!
Allora, tu hai
La distanza di P da r è il segmento della perpendicolare a r passante per P. Ora, la generica perpendicolare a r ha equazione
(che potevi trovare anche come retta del fascio... bla bla...)
Ora, il punto Q di intersezione tra le rette è:
(giuro che se fai i conti per bene, viene!)
Ora basta che fai la distanza tra P e Q:
Allora, tu hai
[math]P\left(x_0,y_0\right)[/math]
e [math]r:ax+by+c=0[/math]
La distanza di P da r è il segmento della perpendicolare a r passante per P. Ora, la generica perpendicolare a r ha equazione
[math]s:-bx + ay + d = 0[/math]
(in modo che il coefficiente angolare sia l'inverso dell'opposto della prima). Imponendo il passaggio per P hai[math]-b x_0 + a y_0 + d = 0\\
d = b x_0 - a y_0\\
\\
s: -b\left(x - x_0\right) + a\left(y - y_0\right)= 0[/math]
d = b x_0 - a y_0\\
\\
s: -b\left(x - x_0\right) + a\left(y - y_0\right)= 0[/math]
(che potevi trovare anche come retta del fascio... bla bla...)
Ora, il punto Q di intersezione tra le rette è:
[math]\begin{cases} ax + by + c = 0 \\ -b\left(x - x_0\right) + a\left(y - y_0\right)= 0
\end{cases}\\
\begin{cases} abx + b^2 y + cb = 0 \\ -ab\left(x - x_0\right) + a^2 \left(y - y_0\right)= 0
\end{cases}\\
\left(a^2 + b^2\right) y + a\left(b x_0 - a y_0\right) + cb = 0\\
\begin{cases} y = \frac{a\left(-b x_0 + a y_0\right) - cb}{a^2 + b^2} \\
x = \frac{b\left(b x_0 - a y_0\right) - ac}{a^2 + b^2}
\end{cases}[/math]
\end{cases}\\
\begin{cases} abx + b^2 y + cb = 0 \\ -ab\left(x - x_0\right) + a^2 \left(y - y_0\right)= 0
\end{cases}\\
\left(a^2 + b^2\right) y + a\left(b x_0 - a y_0\right) + cb = 0\\
\begin{cases} y = \frac{a\left(-b x_0 + a y_0\right) - cb}{a^2 + b^2} \\
x = \frac{b\left(b x_0 - a y_0\right) - ac}{a^2 + b^2}
\end{cases}[/math]
(giuro che se fai i conti per bene, viene!)
Ora basta che fai la distanza tra P e Q:
[math]\sqrt{\left(P_x - Q_x\right)^2 +\left(P_y - Q_y\right)^2} =\\
= \sqrt{\left(x_0 - \frac{b\left(b x_0 - a y_0\right) - ac}{a^2 + b^2}\right)^2 +\left(y_0 - \frac{a\left(-b x_0 + a y_0\right) - cb}{a^2 + b^2}\right)^2} =\\
= \frac{1}{a^2 + b^2} \sqrt{\left(x_0\left(a^2+b^2\right) - b^2 x_0 + ab y_0 + ac \right)^2 + \\+\left(y_0\left(a^2+b^2\right) + ab x_0 - a^2 y_0 + cb\right)^2} = \\
= \frac{1}{a^2 + b^2}\sqrt{\left(x_0 a^2 + ab y_0 + ac \right)^2 + \left(y_0 b^2 + ab x_0 + cb\right)^2} = \\
= \frac{1}{a^2 + b^2} \sqrt{a^2 \left(a x_0 + b y_0 + c \right)^2 + b^2 \left(a x_0 + b y_0 c\right)^2} = \\
= \frac{1}{a^2 + b^2} \sqrt{a^2 + b^2} \left|a x_0 + b y_0 + c \right| = \\
= \frac{\left|a x_0 + b y_0 + c \right|}{\sqrt{a^2 + b^2}}[/math]
= \sqrt{\left(x_0 - \frac{b\left(b x_0 - a y_0\right) - ac}{a^2 + b^2}\right)^2 +\left(y_0 - \frac{a\left(-b x_0 + a y_0\right) - cb}{a^2 + b^2}\right)^2} =\\
= \frac{1}{a^2 + b^2} \sqrt{\left(x_0\left(a^2+b^2\right) - b^2 x_0 + ab y_0 + ac \right)^2 + \\+\left(y_0\left(a^2+b^2\right) + ab x_0 - a^2 y_0 + cb\right)^2} = \\
= \frac{1}{a^2 + b^2}\sqrt{\left(x_0 a^2 + ab y_0 + ac \right)^2 + \left(y_0 b^2 + ab x_0 + cb\right)^2} = \\
= \frac{1}{a^2 + b^2} \sqrt{a^2 \left(a x_0 + b y_0 + c \right)^2 + b^2 \left(a x_0 + b y_0 c\right)^2} = \\
= \frac{1}{a^2 + b^2} \sqrt{a^2 + b^2} \left|a x_0 + b y_0 + c \right| = \\
= \frac{\left|a x_0 + b y_0 + c \right|}{\sqrt{a^2 + b^2}}[/math]
Ho capito, grazie mille alessandro ;)!
Adesso provo io a dimostrare la formula utilizzando l'equazione del fascio.
Dunque sia
Chiamiamo s la retta perpendicolare a r; ricavo il coefficiente angolare:
L'equazione di s sarà:
Metto a sistema r e s per trovare il loro punto H d'intersezione:
Per ricavare la coordinata y moltiplico la prima equazione per a, la seconda per b ed eseguo la riduzione tra le equazioni:
Ottengo:
Ritorno alla situazione:
Per ricavare la coordinata x moltiplico la prima equazione per -b, la seconda per a ed eseguo la riduzione tra le equazioni:
Ottengo:
Dunque:
Applico ora la formula della distanza:
La formula è verificata :yes!
Adesso provo io a dimostrare la formula utilizzando l'equazione del fascio.
Dunque sia
[math]r:\;ax+by+c=0\;e\;P(x_O;y_O)[/math]
.Chiamiamo s la retta perpendicolare a r; ricavo il coefficiente angolare:
[math]m_s=\frac{-1}{-\frac{a}{b}}=\frac{b}{a}[/math]
L'equazione di s sarà:
[math]s:\;y-y_0=\frac{b}{a}*(x-x_0)[/math]
Metto a sistema r e s per trovare il loro punto H d'intersezione:
[math]\begin{cases} y-y_0=\frac{b}{a}*(x-x_0) \\ ax+by+c=0
\end{cases} [/math]
\end{cases} [/math]
[math]\begin{cases} ay-ay_0=bx-bx_0 \\ ax+by=-c
\end{cases} [/math]
\end{cases} [/math]
[math]\begin{cases} -bx+ay=ay_0-bx_0 \\ ax+by=-c
\end{cases} [/math]
\end{cases} [/math]
Per ricavare la coordinata y moltiplico la prima equazione per a, la seconda per b ed eseguo la riduzione tra le equazioni:
[math]\begin{cases} -abx+a^2y=a^2y_0-abx_0 \\ abx+b^2y=-bc
\end{cases} [/math]
\end{cases} [/math]
Ottengo:
[math]y(a^2+b^2)=a^2y_0-abx_0-bc\\y=\frac{a^2y_0-abx_0-bc}{a^2+b^2}[/math]
Ritorno alla situazione:
[math]\begin{cases} -bx+ay=ay_0-bx_0 \\ ax+by=-c
\end{cases} [/math]
\end{cases} [/math]
Per ricavare la coordinata x moltiplico la prima equazione per -b, la seconda per a ed eseguo la riduzione tra le equazioni:
[math]\begin{cases} b^2x-aby=-aby_0+b^2x_0 \\ a^2x+aby=-ac
\end{cases} [/math]
\end{cases} [/math]
Ottengo:
[math]x(a^2+b^2)=b^2x_0-aby_0-ac\\x=\frac{b^2x_0-aby_0-ac}{a^2+b^2}[/math]
Dunque:
[math]H(\frac{b^2x_0-aby_0-ac}{a^2+b^2};\frac{a^2y_0-abx_0-bc}{a^2+b^2})[/math]
Applico ora la formula della distanza:
[math]\sqrt{(x_0-\frac{b^2x_0-aby_0-ac}{a^2+b^2})^2+(y_0-\frac{a^2y_0-abx_0-bc}{a^2+b^2})^2}\\\sqrt{(\frac{a^2x_0+b^2x_0-b^2x_0+aby_0+ac}{a^2+b^2})^2+(\frac{a^2y_0+b^2y_0-a^2y_0+abx_0+bc}{a^2+b^2})^2}\\\sqrt{\frac{(a^2x_0+aby_0+ac)^2}{(a^2+b^2)^2}+\frac{(b^2y_0+abx_0+bc)^2}{(a^2+b^2)^2}}\\\sqrt{\frac{a^2(ax_0+by_0+c)^2+b^2(by_0+ax_0+c)^2}{(a^2+b^2)^2}}\\\sqrt{\frac{(ax_0+by_0+c)^2*(a^2+b^2)}{(a^2+b^2)^2}}\\\frac{\left | ax_0+by_0+c \right |}{\sqrt{a^2+b^2}}[/math]
La formula è verificata :yes!
ao ma ke state a creà:O_o
Eh eh...e non immagini la fatica che ho fatto a scriverle tutte quelle formulacce col latex...;)
:bleah
:lol:lol:lol:lol:lol:lol:lol:lol:lol:lol:lol:lol:lol:lol:lol
Bravo Ste.
Continua così!
Cmq, ti lancio una sfida: mi sai dimostrare (anche facendo i conti) che se hai una qualsiasi conica di equazione
con
Continua così!
Cmq, ti lancio una sfida: mi sai dimostrare (anche facendo i conti) che se hai una qualsiasi conica di equazione
[math]ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0[/math]
con
[math]a,b,c,d,e,f[/math]
costanti reali, allora da ogni punto esterno partono al massimo 2 tangenti? Prova e fammi sapere.
se ti studi un po' di spazi vettoriali ed il prodotto scalare puoi ricalcolarti quella formula con due passaggi. Idem per il teorema generalizzato di pitagora (conosciuto anche come teorema di carnòt)
ps speriamo che ciampax non si roda il fegato per come ho scritto carnò ;)
ps speriamo che ciampax non si roda il fegato per come ho scritto carnò ;)
No, no.... se scrive così!
Vedi che quando ti applichi non sei tanto scemo? :lol
Vedi che quando ti applichi non sei tanto scemo? :lol
Eccomi qui: allora penso di essere riuscito a dimostrare ciò che Donato chiedeva...ora posto tutto il mio ragionamento!
Per prima cosa, non conoscendo nulla sulle coniche, ho cercato informazioni: ne deduco essere quel luogo geometrico di punti che al variare del discriminante della sua equazione si identifica in iperbole, parabole o ellisse.
Ma a me questo serve relativamente...ragioniamo sul quesito: data la generale equazione di una conica, da ogni punto esterno partono al massimo 2 tangenti. Le tangenti sono quelle rette che toccano in un unico punto un luogo geometrico. Perciò, prima di tutto, devo verificare l'esistenza di almeno una tangente alla conica data.
Metto a sistema l’equazione della conica
Si è, dunque, in presenza di un’equazione di secondo grado, la cui formula risolutiva da:
Si deduce che:
- se
- se
- se [math]\Delta
Per prima cosa, non conoscendo nulla sulle coniche, ho cercato informazioni: ne deduco essere quel luogo geometrico di punti che al variare del discriminante della sua equazione si identifica in iperbole, parabole o ellisse.
Ma a me questo serve relativamente...ragioniamo sul quesito: data la generale equazione di una conica, da ogni punto esterno partono al massimo 2 tangenti. Le tangenti sono quelle rette che toccano in un unico punto un luogo geometrico. Perciò, prima di tutto, devo verificare l'esistenza di almeno una tangente alla conica data.
Metto a sistema l’equazione della conica
[math]ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0[/math]
con l’equazione generica di una retta [math]y=mx+q[/math]
per verificare se vi sono punti in cui le due si toccano.[math]\begin{cases} ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0 \\ y=mx+q
\end{cases} [/math]
\end{cases} [/math]
[math]\begin{cases} ax^2+b(mx+q)^2+cx(mx+q)+dx+e(mx+q)+f=0 \\ y=mx+q
\end{cases} [/math]
\end{cases} [/math]
[math]\begin{cases} ax^2+bm^2x^2+2bmxq+bq^2+mcx^2+cxq+dx+emx+eq+f=0 \\ y=mx+q
\end{cases} [/math]
\end{cases} [/math]
[math]\begin{cases} x^2(a+bm^2+mc)+x(2mqb+cq+d+cm)+bq^2+eq+f=0 \\ y=mx+q
\end{cases} [/math]
\end{cases} [/math]
Si è, dunque, in presenza di un’equazione di secondo grado, la cui formula risolutiva da:
[math]x_{1,2}=\frac{-(2mqb+cq+d+cm)\pm\sqrt{(2mqb+cq+d+cm)^2-4(q+bm^2+mc)(bq^2+eq+f)}}{2(q+bm^2+mc)}[/math]
Si deduce che:
- se
[math]\Delta >0[/math]
, si hanno due soluzioni, perciò la retta generica trovata è secante alla conica poichè si incontrano in due;- se
[math]\Delta =0[/math]
, si ha una soluzione, e la retta è tangente alla conica in quanto si toccano in un solo punto;- se [math]\Delta
non ci capisco nulla! ma per fortuna non studio sta roba!:lol
Si ma neanche io l'ho studiata la conica...ho semplicemente ragionato sapendo qualcosina di geometria analitica ;)!
:O_o:O_o:O_o
piuttosto di scrivere tutta quella roba nn so cos'avrei fatto...:weapon
ps: cmq sempre meglio che stare sui libri di italiano:lol:lol:lol
piuttosto di scrivere tutta quella roba nn so cos'avrei fatto...:weapon
ps: cmq sempre meglio che stare sui libri di italiano:lol:lol:lol
:conPerò il fascio di rette e la prima dimostrazione si?
L'equazione del fascio è importante in geometria analitica perchè la usi quasi sempre, quindi è ovvio che bisogna saperla! Per la dimostrazione della prima formula che ho fatto, ho semplicemente seguito ciò che pillaus mi aveva detto...cambiando solo una cosa.
Quindi lo dovrò studiare?:no
...Beh penso proprio di sì...:satisfied
Bravo ste! Risposta esatta.
Cmq, ti consiglio di scrivere per bene l'equazione in m....
potresti scoprire qualcosa di più! :lol
Cmq, ti consiglio di scrivere per bene l'equazione in m....
potresti scoprire qualcosa di più! :lol
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