Forma inderteminata di un limite di una funzione cubica
Ciao.
Sto cercando l'asintoto obliquo di questa funzione $y=x*root(3)(x/(x+2)$.
L'asintoto ha equazione $y=mx+q$.
Ho trovato il coefficiente angolare $m$. Devo trovare $q$, perciò sto cercando il limite per x che tende ad infinito di $f(x)-mx$. In sintesi:
$\lim_{x \to \infty}x*root(3)(x/(x+2)) - x$.
Sto provando ad eliminare la forma indeterminata con la tecnica della razionalizzazione usata per le funzioni cubiche ma non riesco probabilmente a causa dei calcoli algebrici.
C'è un modo più agevole?. Qualche aiuto?
La risposta è $q=2/3$.
Grazie.
Raffaele
Sto cercando l'asintoto obliquo di questa funzione $y=x*root(3)(x/(x+2)$.
L'asintoto ha equazione $y=mx+q$.
Ho trovato il coefficiente angolare $m$. Devo trovare $q$, perciò sto cercando il limite per x che tende ad infinito di $f(x)-mx$. In sintesi:
$\lim_{x \to \infty}x*root(3)(x/(x+2)) - x$.
Sto provando ad eliminare la forma indeterminata con la tecnica della razionalizzazione usata per le funzioni cubiche ma non riesco probabilmente a causa dei calcoli algebrici.
C'è un modo più agevole?. Qualche aiuto?
La risposta è $q=2/3$.
Grazie.
Raffaele
Risposte
Mmh, potresti raccogliere una x e poi usare hopital dopo aver scritto $x$ come $1/(1/x)$ ottenendo uno $0/0$
Oppure moltiplicare per $(x^2*root(3)(x/(x+2))^2 - x^2root(3)(x/(x+2))+x^2)/(x^2*root(3)(x/(x+2))^2 - x^2root(3)(x/(x+2))+x^2)$ a numeratore ottieni una differenza di cubi e a denominatore fai i raccoglimenti.
Grazie per i consigli. Ho risolto il limite eliminando la forma di indeterminazione utilizzando una tecnica di razionalizzazione.
La posto perché penso possa essere utile anche ad altri studenti.
$\lim_{x \to \infty}x*root(3)(x/(x+2)) - x$
Da questo momento ometto di ripetere la scrittura $\lim_{x \to \infty}$.
Raccolgo la $x$, $x*(root(3)(x/(x+2)) - 1)$. Quindi razionalizzo il secondo fattore utilizzando questo oggetto
$(root(3)((x/(x+2))^2) + 1 + root(3)(x/(x+2)))/(root(3)((x/(x+2))^2) + 1 + root(3)(x/(x+2)))$.
$(root(3)(x/(x+2)) - 1) * (root(3)((x/(x+2)))^2 + 1 + root(3)(x/(x+2)))/(root(3)((x/(x+2)))^2 + 1 + root(3)(x/(x+2)))$
$x/(x+2) + root(3)(x/(x+2)) + root(3)((x/(x+2)))^2 - root(3)((x/(x+2))^2) - 1 - root(3)((x/(x+2))$/$(root(3)((x/(x+2))^2) + 1 + root(3)(x/(x+2)))$
Eliminando i termini opposti al numeratore:
$(x/(x+2) - 1)/(root(3)((x/(x+2))^2) + 1 + root(3)(x/(x+2)))$
$((x-x-2)/(x+2))/(root(3)((x/(x+2))^2) + 1 + root(3)(x/(x+2)))$
$((-2)/(x+2))/(root(3)((x/(x+2))^2) + 1 + root(3)(x/(x+2)))$
Ritorniamo al limite
$\lim_{x \to \infty}x*(root(3)(x/(x+2)) - 1)$ $=$ $\lim_{x \to \infty}x*((-2)/(x+2))/(root(3)((x/(x+2))^2) + 1 + root(3)(x/(x+2)))$
$\lim_{x \to \infty}((-2x)/(x+2))/(root(3)((x/(x+2))^2) + 1 + root(3)(x/(x+2)))$
Raccogliamo la $x$ sia al numeratore che all'interno dei radicali cubici.
$\lim_{x \to \infty}((-2x)/(x(1+2/x))/(root(3)((x/x(1+2/x))^2) + 1 + root(3)(x/x(1+2/x)))$
$\lim_{x \to \infty}((-2)/((1+2/x))/(root(3)(((1+2/x))^2) + 1 + root(3)((1+2/x)))$
Ora si vede chiaramente che per $x\to\infty$ il numeratore tende a $-2$ ed il numeratore tende a $3$.
Riassumendo $\lim_{x \to \infty}x*root(3)(x/(x+2)) - x = (-2/3)$
Grazie ancora.
Raffaele
La posto perché penso possa essere utile anche ad altri studenti.
$\lim_{x \to \infty}x*root(3)(x/(x+2)) - x$
Da questo momento ometto di ripetere la scrittura $\lim_{x \to \infty}$.
Raccolgo la $x$, $x*(root(3)(x/(x+2)) - 1)$. Quindi razionalizzo il secondo fattore utilizzando questo oggetto
$(root(3)((x/(x+2))^2) + 1 + root(3)(x/(x+2)))/(root(3)((x/(x+2))^2) + 1 + root(3)(x/(x+2)))$.
$(root(3)(x/(x+2)) - 1) * (root(3)((x/(x+2)))^2 + 1 + root(3)(x/(x+2)))/(root(3)((x/(x+2)))^2 + 1 + root(3)(x/(x+2)))$
$x/(x+2) + root(3)(x/(x+2)) + root(3)((x/(x+2)))^2 - root(3)((x/(x+2))^2) - 1 - root(3)((x/(x+2))$/$(root(3)((x/(x+2))^2) + 1 + root(3)(x/(x+2)))$
Eliminando i termini opposti al numeratore:
$(x/(x+2) - 1)/(root(3)((x/(x+2))^2) + 1 + root(3)(x/(x+2)))$
$((x-x-2)/(x+2))/(root(3)((x/(x+2))^2) + 1 + root(3)(x/(x+2)))$
$((-2)/(x+2))/(root(3)((x/(x+2))^2) + 1 + root(3)(x/(x+2)))$
Ritorniamo al limite
$\lim_{x \to \infty}x*(root(3)(x/(x+2)) - 1)$ $=$ $\lim_{x \to \infty}x*((-2)/(x+2))/(root(3)((x/(x+2))^2) + 1 + root(3)(x/(x+2)))$
$\lim_{x \to \infty}((-2x)/(x+2))/(root(3)((x/(x+2))^2) + 1 + root(3)(x/(x+2)))$
Raccogliamo la $x$ sia al numeratore che all'interno dei radicali cubici.
$\lim_{x \to \infty}((-2x)/(x(1+2/x))/(root(3)((x/x(1+2/x))^2) + 1 + root(3)(x/x(1+2/x)))$
$\lim_{x \to \infty}((-2)/((1+2/x))/(root(3)(((1+2/x))^2) + 1 + root(3)((1+2/x)))$
Ora si vede chiaramente che per $x\to\infty$ il numeratore tende a $-2$ ed il numeratore tende a $3$.
Riassumendo $\lim_{x \to \infty}x*root(3)(x/(x+2)) - x = (-2/3)$
Grazie ancora.
Raffaele
Cioè esattamente quella che ti ho consigliato io, solo che prima hai raccolto la x.
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