Forma esponenziale di numeri complessi

[andrew.cgs1]

A volte, si sa, certi insegnanti di matematica si limitano a mostrare senza dimostrare, e i dubbi non tardano a sorgere.
Nel mio caso, come da titolo, si tratta della forma esponenziale dei numeri complessi. Venendo al dunque, come si passa da una forma "goniometrica" $r*( cos theta + i sin theta)$ alla tanto decantata $r*e^(i theta)$?
Ho provato a fare il collegamento stamattina con gli sviluppi in serie di Taylor (gentile dono delle lezioni di fisica), ma non sono sicuro della solidità del metodo...
Anche perché quando c'è di mezzo un $(-1)$ in una sommatoria infinita vado in paranoia

[Gi81]

Faccio copia-incolla dalla firma di garnak.olegovitc (member54254.html)

\( \displaystyle e^{ix}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^n}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} +i\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1} x^{2n-1}}{(2n-1)!}=\cos x+i\sin x \)

[giammaria2]

Se non hai familiarità con le sommatorie, ecco le stessa dimostrazione in termini estesi. Il collegamento viene proprio dagli sviluppi in serie di Taylor: infatti
$e^ (i theta) = 1+(i theta)/(1!)+ ((i theta)^2)/(2!) +((i theta)^3)/(3!)+...$

Consideriamo gli addendi ai posti dispari: sono
$1+ ((i theta)^2)/(2!)+((i theta)^4)/(4!) +((i theta)^6)/(6!)+...=1-(theta^2)/(2!)+(theta^4)/(4!)-(theta^6)/(6!)+...=cos theta$

Lavorando analogamente con quelli al posto pari trovi appunto $i sin theta$

[andrew.cgs1]

Eh, praticamente siamo lì, dovrei averci preso (termini molto professionali!)...
Grazie ad entrambi!