Fisica- gravitazione
salve a tutti!
oggi in fisica abbiamo discusso un po' della gravitazione e c'è un particolare che non mi quadra...
data la formula F=G*m1*m2/r^2, da questa si può arrivare alla terza legge di keplero T^2/r^3=C, dove C è una costante, che varia a seconda del corpo intorno al quale ruota l' oggetto con periodo T (infatti dalla legge di gravitazione universale, si deduce che C=(4pi^2)/G*m)...
abbiamo poi trovato un esercizio che chiedeva a quanti chilometri dalla terra (sul piano dell' equatore) deve essere distante un corpo, per essere in orbita geostazionaria; quello che mi chiedo io è:
se è in orbita geostazionaria, vuol dire che il corpo e l' osservatore all' equatore avranno lo stesso periodo di rivoluzione; se ci riferiamo alla terza legge di keplero, allora la mia unica incognita è r (dato che ho T=24h, G è assegnata, così come la massa della terra), e quindi io ottengo UNA soluzione di r...ma allora, questo vuol dire che esiste solo una distanza per cui si ha un periodo di 24h... ma se abbiamo detto che ci sono due punti che hanno lo stesso periodo (e cioè all' equatore, e il corpo nello spazio, che entrambi hanno un periodo di 24h), com' è possibile?
io ho provato a chiedere al prof, ma mi ha detto che c'è differenza fra l'essere a terra e l' essere nello spazio...però non ho ben capito...
fra l' altro ho provato a fare i calcoli usando la legge di keplero, ma non mi tornano (in teoria la soluzione dovrebbe essere un valore di r intorno ai 40000 Km...).
confido in voi.
ciao
oggi in fisica abbiamo discusso un po' della gravitazione e c'è un particolare che non mi quadra...
data la formula F=G*m1*m2/r^2, da questa si può arrivare alla terza legge di keplero T^2/r^3=C, dove C è una costante, che varia a seconda del corpo intorno al quale ruota l' oggetto con periodo T (infatti dalla legge di gravitazione universale, si deduce che C=(4pi^2)/G*m)...
abbiamo poi trovato un esercizio che chiedeva a quanti chilometri dalla terra (sul piano dell' equatore) deve essere distante un corpo, per essere in orbita geostazionaria; quello che mi chiedo io è:
se è in orbita geostazionaria, vuol dire che il corpo e l' osservatore all' equatore avranno lo stesso periodo di rivoluzione; se ci riferiamo alla terza legge di keplero, allora la mia unica incognita è r (dato che ho T=24h, G è assegnata, così come la massa della terra), e quindi io ottengo UNA soluzione di r...ma allora, questo vuol dire che esiste solo una distanza per cui si ha un periodo di 24h... ma se abbiamo detto che ci sono due punti che hanno lo stesso periodo (e cioè all' equatore, e il corpo nello spazio, che entrambi hanno un periodo di 24h), com' è possibile?
io ho provato a chiedere al prof, ma mi ha detto che c'è differenza fra l'essere a terra e l' essere nello spazio...però non ho ben capito...
fra l' altro ho provato a fare i calcoli usando la legge di keplero, ma non mi tornano (in teoria la soluzione dovrebbe essere un valore di r intorno ai 40000 Km...).
confido in voi.
ciao
Risposte
Stai confondendo il periodo di rotazione della Terra con il periodo di rivoluzione del satellite intorno alla Terra.
P.s. Il raggio dell'orbita di un satellite geostazionario è di circa 42.300 km dal centro della Terra.
P.s. Il raggio dell'orbita di un satellite geostazionario è di circa 42.300 km dal centro della Terra.
da quello che avevo capito io, un osservatore all' equatore gira intorno al centro della terra con un periodo di 24h; questo stesso periodo lo deve avere il satellite che gira pur esso intorno al centro della terra...in che senso mi sto confondendo?
Ciao, jack. La tua richiesta e' interessante e cerco
di darti una spiegazione.
Perche' un oggetto giri attorno alla Terra in un'orbita
circolare (quind senza ricaderci), deve avere una precisa velocita'
tangenziale che dipende dall'altezza dell'orbita stessa.
Le componenti radiali del movimento devono infatti essere
uguali (e di segno opposto) per annullarsi.
Quindi la "forza centrifuga" [m*V^2/(R+h)] deve uguagliare
la "forza di gravita'" [m*g*R^2/((R+h)^2]
Da questa uguaglianza si ricava che per un'orbita di altezza
h dalla superficie terrestre (di raggio R) deve essere
V=sqrt(g*R^2/(R+h)), dove g (=9.81 m/s^2) e' l'accelerazione
di gravita' al suolo.
Se poi si vuole che il satellite sia "geostazionario" cioe'
"fisso" rispetto ad un osservatore terrestre, questo deve avere
la stessa "velocita' angolare" della Terra, che percorra cioe'
l'orbita in 24 ore (quindi w=2pi/T, dove T=24*3600=86400 s).
La velocita' tangenziale corrispondente e' V=w*(R+h).
In definitiva, uguagliando le due velocita' possiamo ricavare
h (=35890 km), e poi V (=3.074 km/s).
Ho cercato di riassumere l'essenziale, ma se non sono stato
chiaro, chiedi dettagli.(ho dato ad es. per scontato che tu
sappia che in un moto circolare la forza centrifuga abbia quella
formula, e che l'attrazione sia inversamente proporzionale
al quadrato della distanza)
di darti una spiegazione.
Perche' un oggetto giri attorno alla Terra in un'orbita
circolare (quind senza ricaderci), deve avere una precisa velocita'
tangenziale che dipende dall'altezza dell'orbita stessa.
Le componenti radiali del movimento devono infatti essere
uguali (e di segno opposto) per annullarsi.
Quindi la "forza centrifuga" [m*V^2/(R+h)] deve uguagliare
la "forza di gravita'" [m*g*R^2/((R+h)^2]
Da questa uguaglianza si ricava che per un'orbita di altezza
h dalla superficie terrestre (di raggio R) deve essere
V=sqrt(g*R^2/(R+h)), dove g (=9.81 m/s^2) e' l'accelerazione
di gravita' al suolo.
Se poi si vuole che il satellite sia "geostazionario" cioe'
"fisso" rispetto ad un osservatore terrestre, questo deve avere
la stessa "velocita' angolare" della Terra, che percorra cioe'
l'orbita in 24 ore (quindi w=2pi/T, dove T=24*3600=86400 s).
La velocita' tangenziale corrispondente e' V=w*(R+h).
In definitiva, uguagliando le due velocita' possiamo ricavare
h (=35890 km), e poi V (=3.074 km/s).
Ho cercato di riassumere l'essenziale, ma se non sono stato
chiaro, chiedi dettagli.(ho dato ad es. per scontato che tu
sappia che in un moto circolare la forza centrifuga abbia quella
formula, e che l'attrazione sia inversamente proporzionale
al quadrato della distanza)
ciao!
in pratica per calcolare la distanza hai usato la terza legge di keplero (la sostanza è quella, però adesso la spiegazione è più convincente...); quello che però ancora non ho capito, è questo: se ho un satellite posto a 35890Km dal suolo, esso apparirà fermo rispetto alla terra; supponiamo di avere un altro satellite più vicino al suolo: esso sarà più veloce del primo (e lo si può vedere dalla formula della velocità V=sqrt(g*R^2 /(R+h), siccome diminisce h...); supponiamo di avvicinarlo sempre più (ovviamente trascuriamo l' attrito con l' aria (anche se poi in pratica tutt' altro che lo è...); quando però il satellite tocca il suolo, rimanendo fermo rispetto alla terra, avrà una velocità pari a V=2pi*R/86400s, cioè avrà la stessa velocità di rotazione della terra...che è minore della velocità che avrebbe se fosse in quota a una distanza compresa fra R e R+h...
quello che mi chiedo è perchè avviene questo? il fatto che a quota R ci sia "la terra sotto" modifica qualcosa (io direi di sì)?
spero che si sia capito qualcosa di quello detto sopra...
ciao
in pratica per calcolare la distanza hai usato la terza legge di keplero (la sostanza è quella, però adesso la spiegazione è più convincente...); quello che però ancora non ho capito, è questo: se ho un satellite posto a 35890Km dal suolo, esso apparirà fermo rispetto alla terra; supponiamo di avere un altro satellite più vicino al suolo: esso sarà più veloce del primo (e lo si può vedere dalla formula della velocità V=sqrt(g*R^2 /(R+h), siccome diminisce h...); supponiamo di avvicinarlo sempre più (ovviamente trascuriamo l' attrito con l' aria (anche se poi in pratica tutt' altro che lo è...); quando però il satellite tocca il suolo, rimanendo fermo rispetto alla terra, avrà una velocità pari a V=2pi*R/86400s, cioè avrà la stessa velocità di rotazione della terra...che è minore della velocità che avrebbe se fosse in quota a una distanza compresa fra R e R+h...
quello che mi chiedo è perchè avviene questo? il fatto che a quota R ci sia "la terra sotto" modifica qualcosa (io direi di sì)?
spero che si sia capito qualcosa di quello detto sopra...
ciao
Quello che mi sembra tu non abbia capito e' che se diminuisci h
non puoi piu' mantenere la geostazionarieta': solo a quella quota
hai l'uguaglianza fra la velocita' che mantiene il sincronismo di
rotazione e quella che mantiene l'equilibrio fra la forza centrifuga
e l'attrazione di gravita' (consentendo un moto cicolare attorno al
centro della Terra).
In altre parole un satellite piu' vicino alla Terra, per mantenere
il 'suo' equilibrio, dovra' sfrecciare sul capo dell'osservatore terrestre
facendo piu' giri nelle 24 ore. Sei convinto? Ciao.
non puoi piu' mantenere la geostazionarieta': solo a quella quota
hai l'uguaglianza fra la velocita' che mantiene il sincronismo di
rotazione e quella che mantiene l'equilibrio fra la forza centrifuga
e l'attrazione di gravita' (consentendo un moto cicolare attorno al
centro della Terra).
In altre parole un satellite piu' vicino alla Terra, per mantenere
il 'suo' equilibrio, dovra' sfrecciare sul capo dell'osservatore terrestre
facendo piu' giri nelle 24 ore. Sei convinto? Ciao.
non capisco perchè quando il corpo è sulla terra gira più lentamente rispetto a uno che si trova poco sopra di lui (con "poco sopra" intendo dire compreso fra la superficie terrestre e la quota di geostazionarietà (non so se esiste quest' ultima parola, ma penso si capisca lo stesso...)); in teoria, se la velocità di rotazione aumenta al diminuire della distanza, un corpo appoggiato sulla terra dovrebbe andare più veloce di uno che sta in "orbita" a 1m sopra la superficie terrestre...
ciao
ciao
Il fatto che il raggio della terra sia (mediamente) di
6370 Km, non influisce sulla 'dinamica' del satellite:
Il calcolo presuppone che tutta la massa della Terra sia
concentrata nel suo centro, ed eserciti sul satellite
un'attrazione g in un'orbita di raggio R (ipotetica, per
fortuna!) e un'attrazione gx=g*R^2/(R+h)^2 ad un'altezza h
dal suolo.
Perche' l'orbita sia circolare (attento, non ellittica)
occorre, come ho gia' detto, che che questa attrazione sia
esattamente bilanciata dalla forza centrifuga,
Quindi ad ogni altezza h corrisponde un'esatta velocita'
di equilibrio (altrimenti si devono applicare le leggi di
Keplero, che comportano orbite ellittiche oppure, nel
caso di allontanamento senza ritorno, paraboliche).
6370 Km, non influisce sulla 'dinamica' del satellite:
Il calcolo presuppone che tutta la massa della Terra sia
concentrata nel suo centro, ed eserciti sul satellite
un'attrazione g in un'orbita di raggio R (ipotetica, per
fortuna!) e un'attrazione gx=g*R^2/(R+h)^2 ad un'altezza h
dal suolo.
Perche' l'orbita sia circolare (attento, non ellittica)
occorre, come ho gia' detto, che che questa attrazione sia
esattamente bilanciata dalla forza centrifuga,
Quindi ad ogni altezza h corrisponde un'esatta velocita'
di equilibrio (altrimenti si devono applicare le leggi di
Keplero, che comportano orbite ellittiche oppure, nel
caso di allontanamento senza ritorno, paraboliche).
penso di aver trovato una spiegazione (spero...): la massa della terra non è concentrata in un punto, ma se lo fosse, un corpo che compie un orbita circolare attorno ad esso, ad una distanza pari al raggio terrestre, impiegherebbe circa 1,4 ore a fare un giro...ma, per fortuna nostra, la massa della terra è distribuita su tutto il suo volume (all' incirca), quindi di fatto la sfera impiega 24 ore a compiere un giro su se stessa per mantenere costante il suo momento angolare(?); se la spiegazione è questa, allora ho capito il perchè le formule precedenti mi danno il risultato corretto... se no sono punto e a capo...
ciao
ciao
esatto jack. ed è per la legge della conservazione del momento angolare che la tua prof ti disse che c'è differenza dall'essere a terra e dall'essere nello spazio. (cmq sia non solo la superficie della terra ha periodo "geostazioanrio" ma tutti i punti del volume della terra)
ok, allora la questione è risolta...
solo un particolare: quello di fisica è un lui (ma ai fini del problema è irrilevante [:D])...
grazie mille a tutti!
ciao
solo un particolare: quello di fisica è un lui (ma ai fini del problema è irrilevante [:D])...
grazie mille a tutti!
ciao
Concordo con la conclusione: un corpo solidale con la Terra
non puo' 'cadere', un satellite si.
Per questo valgono le formule citate, una per la velocita'
di un corpo 'terrestre' (velocita' angolare per raggio) e
l'altra per un corpo nello spazio.
Ma,tornando al punto da dove eravamo partiti, solo all'altezza
h (=35890 km, che corrisponde a R+h=42260 km dal centro terrestre)
si verifica che le due velocita' coincidono.
Quindi un satellite solo a quell'altezza e con quella velocita'
e' "geostazionario".
Spero che ora tu ne sia convinto (ma apprezzo lo sforzo di chiarire
cio' che non appare evidente). Ciao
G.Schgör
non puo' 'cadere', un satellite si.
Per questo valgono le formule citate, una per la velocita'
di un corpo 'terrestre' (velocita' angolare per raggio) e
l'altra per un corpo nello spazio.
Ma,tornando al punto da dove eravamo partiti, solo all'altezza
h (=35890 km, che corrisponde a R+h=42260 km dal centro terrestre)
si verifica che le due velocita' coincidono.
Quindi un satellite solo a quell'altezza e con quella velocita'
e' "geostazionario".
Spero che ora tu ne sia convinto (ma apprezzo lo sforzo di chiarire
cio' che non appare evidente). Ciao
G.Schgör
sì, adesso la soluzione appare limpida... chiarito il punto che mi risultava ostico (e cioè il perchè la terra è più lenta di quello che dovrebbe essere), adesso sono convinto delle formule usate...
grazie ancora a tutti quelli che hanno partecipato alla discussione
ciao, jack
grazie ancora a tutti quelli che hanno partecipato alla discussione
ciao, jack
Scusate, ma ho incrociato per caso il vostro dialogo, e ho pensato che fosse ben accetta qualche correzione.
Se ho ben capito il dubbio di Jack e la risposta mi pare quest’ultima non sia adeguata.
Il concetto è che un corpo (in un sistema inerziale) per mantenere un moto circolare uniforme deve essere sottoposto ad una accelerazione centripeta di modulo costante e rivolta verso il centro di rotazione.
Nel caso di un corpo che ruota intorno alla Terra (ad una distanza “non eccessiva”) tale accelerazione è data “anche” dalla accelerazione gravitazionale. Se non ci sono altre forze in gioco allora si ha che le due accelerazioni coincidono, e questo è il caso in cui si calcola il raggio dell’unica orbita geostazionaria.
Anche un corpo “fermo” sulla superficie terrestre percorre un’orbita che potrebbe essere interpretata come geostazionaria, però non è soggetto solo alla accelerazione di gravità, ma anche alla reazione vincolare della Terra, per cui l’equazione che permette di trovare quest’orbita, e solo nel caso che si trovi all’equatore, si ottiene uguagliando la forza centripeta con la somma (in pratica differenza) fra la forza di gravità e la reazione “centrifuga” (cioè negativa) della Terra. Per includere anche le “orbite” di chi non è all’equatore si deve anche introdurre il concetto della non perpendicolarità della forza di gravità e della superficie terrestre, così che la loro somma ha una componente (non nulla) parallela all’asse Terrestre e che permette di ottenere la forza centripeta.
(Provo a spiegarmi meglio: se la forza di gravità fosse allineata con la reazione della superficie terrestre la loro somma potrebbe avere solo la stessa direzione, ma la forza centripeta è diretta perpendicolarmente all’asse terrestre, quindi questo sarebbe il solo caso possibile (cioè corpo all’equatore), mentre anche in Italia c’è chi sta fermo e ruota di moto “geostazionario”.)
Sperando di essere stato comprensibile e di averti aiutato nella comprensione di questo fenomeno ti saluto.
Se ho ben capito il dubbio di Jack e la risposta mi pare quest’ultima non sia adeguata.
Il concetto è che un corpo (in un sistema inerziale) per mantenere un moto circolare uniforme deve essere sottoposto ad una accelerazione centripeta di modulo costante e rivolta verso il centro di rotazione.
Nel caso di un corpo che ruota intorno alla Terra (ad una distanza “non eccessiva”) tale accelerazione è data “anche” dalla accelerazione gravitazionale. Se non ci sono altre forze in gioco allora si ha che le due accelerazioni coincidono, e questo è il caso in cui si calcola il raggio dell’unica orbita geostazionaria.
Anche un corpo “fermo” sulla superficie terrestre percorre un’orbita che potrebbe essere interpretata come geostazionaria, però non è soggetto solo alla accelerazione di gravità, ma anche alla reazione vincolare della Terra, per cui l’equazione che permette di trovare quest’orbita, e solo nel caso che si trovi all’equatore, si ottiene uguagliando la forza centripeta con la somma (in pratica differenza) fra la forza di gravità e la reazione “centrifuga” (cioè negativa) della Terra. Per includere anche le “orbite” di chi non è all’equatore si deve anche introdurre il concetto della non perpendicolarità della forza di gravità e della superficie terrestre, così che la loro somma ha una componente (non nulla) parallela all’asse Terrestre e che permette di ottenere la forza centripeta.
(Provo a spiegarmi meglio: se la forza di gravità fosse allineata con la reazione della superficie terrestre la loro somma potrebbe avere solo la stessa direzione, ma la forza centripeta è diretta perpendicolarmente all’asse terrestre, quindi questo sarebbe il solo caso possibile (cioè corpo all’equatore), mentre anche in Italia c’è chi sta fermo e ruota di moto “geostazionario”.)
Sperando di essere stato comprensibile e di averti aiutato nella comprensione di questo fenomeno ti saluto.
beh, più o meno è quello che mi chiedevo io...solo che io ho pensato:
anke la terra è un corpo, che ruota intorno al centro della terra; applicando quindi la terza legge di keplero per conoscere r, sapendo T (il periodo) e C(=4pi^2/G*m, con m massa della terra), mi aspettavo di ottenere come raggio quello terrestre, mentre invece ottengo quello di un orbita geostazionaria (circa 40000 Km); allora ho pensato che la soluzione non fosse quella prevista, per via del fatto che la massa della terra non è concentrata su un punto, o perlomeno questa condizione non vale, se l' oggetto che gira intorno al centro della terra è la terra stessa!
ciao
anke la terra è un corpo, che ruota intorno al centro della terra; applicando quindi la terza legge di keplero per conoscere r, sapendo T (il periodo) e C(=4pi^2/G*m, con m massa della terra), mi aspettavo di ottenere come raggio quello terrestre, mentre invece ottengo quello di un orbita geostazionaria (circa 40000 Km); allora ho pensato che la soluzione non fosse quella prevista, per via del fatto che la massa della terra non è concentrata su un punto, o perlomeno questa condizione non vale, se l' oggetto che gira intorno al centro della terra è la terra stessa!
ciao
Ci sono degli errori di fondo, e il primo è questo:
Siconosce il 3° principio della meccanica: se un corpo A esercita una forza F su un corpo B allora B esercita una forza -F su A. Invece mi sembra che tu stia considerando la forza che la Terra esercita su sé stessa. "Non puoi", ma se potesssi, e se fosse F tale forza allora, per il 3° principio avremmo anhce una forza _F, che darebbe come risultante 0, cioè che la forza è nulla.
Per quanto riguarda la massa della Terra si ha che la legge di gravitazione universale vale per i corpi puntiformi, e da questo si dimostra che allora vale anche per ogni corpo S a simmetria sferica, considerandoli analoghi ad un corpo di pari massa concentrata tutta nel centro di simmetria, ma solo se consideriamo la forza complessiva su un corpo C che si trovi all'esterno di A; si dimostra anche che se ho un "guscio" di materia G a simmetria sferica, "vuoto" all'interno, su ha che il contributo complessivo delle forze gravitazionali dovute ai punti del guscio su un punto all'interno della parte vuota è zero.
Allora non è del tutto corretto dire di considerare la Terra come un corpo puntiforme che ruota intorno al suo centro di massa , perché un punto posto nel centro di rotazione non ruota (cioè non "percorre" un angolo ...).
Infine la tua distanza è sempre (per ogni corpo celesate) il raggio di un'orbita geostazionaria: infatti considera che hai messo come periodo T (che sarebbe dovuto essere il periodo di rivoluzione) il periodo di rotazione (e quindi hai trovato i dati di un corpo celeste che ha il periodo di rivoluzione uguale al periodo di rotazione, cioè, "più o meno", che si muove in modo "geostazionario").
Sperando ancora di essere stato chiaro e di averti aiutato nella comprensione di questa "curiosità", ti saluto.
Siconosce il 3° principio della meccanica: se un corpo A esercita una forza F su un corpo B allora B esercita una forza -F su A. Invece mi sembra che tu stia considerando la forza che la Terra esercita su sé stessa. "Non puoi", ma se potesssi, e se fosse F tale forza allora, per il 3° principio avremmo anhce una forza _F, che darebbe come risultante 0, cioè che la forza è nulla.
Per quanto riguarda la massa della Terra si ha che la legge di gravitazione universale vale per i corpi puntiformi, e da questo si dimostra che allora vale anche per ogni corpo S a simmetria sferica, considerandoli analoghi ad un corpo di pari massa concentrata tutta nel centro di simmetria, ma solo se consideriamo la forza complessiva su un corpo C che si trovi all'esterno di A; si dimostra anche che se ho un "guscio" di materia G a simmetria sferica, "vuoto" all'interno, su ha che il contributo complessivo delle forze gravitazionali dovute ai punti del guscio su un punto all'interno della parte vuota è zero.
Allora non è del tutto corretto dire di considerare la Terra come un corpo puntiforme che ruota intorno al suo centro di massa , perché un punto posto nel centro di rotazione non ruota (cioè non "percorre" un angolo ...).
Infine la tua distanza è sempre (per ogni corpo celesate) il raggio di un'orbita geostazionaria: infatti considera che hai messo come periodo T (che sarebbe dovuto essere il periodo di rivoluzione) il periodo di rotazione (e quindi hai trovato i dati di un corpo celeste che ha il periodo di rivoluzione uguale al periodo di rotazione, cioè, "più o meno", che si muove in modo "geostazionario").
Sperando ancora di essere stato chiaro e di averti aiutato nella comprensione di questa "curiosità", ti saluto.
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