Fattorizzazione Q Z
Ciao qualcuno mi può spiegare in maniera chiara e semplice questo esercizio?
perchè la sua fattorizzazione in Q è =
e in Z =
come bisognerebbe procedere?
so che si potrebbe applicare il Lemma Di Gauss, ma non so come
mi potete aiutare, grazie
[math]f(x)=x^4+10x^2+24 [/math]
perchè la sua fattorizzazione in Q è =
[math](2/3 x^2 + 16/6) * (3/2 x^2 + 9) [/math]
e in Z =
[math] (x^2 + 4) * (x^2 + 6) [/math]
come bisognerebbe procedere?
so che si potrebbe applicare il Lemma Di Gauss, ma non so come
mi potete aiutare, grazie
Risposte
Ma stai a prendere gli esercizi dal libro della Cattaneo? :)
Cmq, il motivo del perché tu abbia quelle due fattorizzazioni è riconducibile ad un semplice fatto, e cioè che ogni volte tu hai un polinomio a coefficienti razionali ne puoi costruire uno a coefficienti interi che mantiene le stesse caratteristiche del precedente (riducibile o irriducibile). Infatti se
dove
dove ovviamente i coefficienti di
da cui deduci che ogni volta tu prendi un polinomio a coefficienti razionali ne puoi trovare uno a coefficienti interi che ha le stesse cartteristiche.
In realtà tutta sta roba ha fine pratico zero, ma è utile in questo senso: ogni volta che devi fattorizzare, visto che Q è un campo mentre Z non lo è, basta ragionare su Q, fattorizzare e poi rimoltiplicare tutto per m/d, in modo da ottenere una fattorizzazione su Z.
Ora per lavorare nel tuo caso,puoi procedere così. Il polinomio è in Z[x]. Poiché se poni
ne deduci la fattorizzazione in Z
e ovviamente non puoi fattorizzare ulteriormente. Per dedurre quella in Q, osserva che puoi scegliere 2 polinomi di secondo grado il cui prodotto dia il polinomio di partenza, da cui
(nota che puoi scrivere questa cosa solo se pensi a coefficienti razionali!) da cui
A questo punto risolvi il sistema
in Q. La cosa è un po' laboriosa ma scopri che la soluzione (una delle possibili!) è quella da te scritta. Inoltre, da questa, trovando
e quindi
da cui
che è la fattorizzazione in Z!
Cmq, il motivo del perché tu abbia quelle due fattorizzazioni è riconducibile ad un semplice fatto, e cioè che ogni volte tu hai un polinomio a coefficienti razionali ne puoi costruire uno a coefficienti interi che mantiene le stesse caratteristiche del precedente (riducibile o irriducibile). Infatti se
[math]f(x)\in\mathbb{Q}[x][/math]
ha i coefficienti [math]a_i/b_i[/math]
allora puoi costruire il nuovo polinomio[math]g(x)=m\cdot f(x)[/math]
dove
[math]m=mcm(b_i)[/math]
che è a coefficienti interi che puoi indicare con [math]c_i[/math]
. Ora se [math]d=MCD(c_i)[/math]
puoi raccogliere tale valore e scrivere il nuovo polinomio[math]d\cdot g'(x)=g(x)[/math]
dove ovviamente i coefficienti di
[math]g'[/math]
sono ancora interi ma tutti uguali a [math]c_i/d[/math]
. A questo punto hai[math]f(x)=\frac{d}{m}\cdot g'(x)[/math]
da cui deduci che ogni volta tu prendi un polinomio a coefficienti razionali ne puoi trovare uno a coefficienti interi che ha le stesse cartteristiche.
In realtà tutta sta roba ha fine pratico zero, ma è utile in questo senso: ogni volta che devi fattorizzare, visto che Q è un campo mentre Z non lo è, basta ragionare su Q, fattorizzare e poi rimoltiplicare tutto per m/d, in modo da ottenere una fattorizzazione su Z.
Ora per lavorare nel tuo caso,puoi procedere così. Il polinomio è in Z[x]. Poiché se poni
[math]t=x^2[/math]
ottieni [math]t^2+10t+24=(t+6)(t+4)[/math]
ne deduci la fattorizzazione in Z
[math](x^2+4)(x^2+6)[/math]
e ovviamente non puoi fattorizzare ulteriormente. Per dedurre quella in Q, osserva che puoi scegliere 2 polinomi di secondo grado il cui prodotto dia il polinomio di partenza, da cui
[math](\alpha x^2+\beta)(x^2/\alpha+\gamma)=x^4+10x^2+24[/math]
(nota che puoi scrivere questa cosa solo se pensi a coefficienti razionali!) da cui
[math]x^4+(\alpha\gamma+\beta/\alpha)x^2+\gamma\beta=x^4+10x^2+24[/math]
A questo punto risolvi il sistema
[math]\gamma\beta=24,\qquad \alpha\gamma+\beta/\alpha=10[/math]
in Q. La cosa è un po' laboriosa ma scopri che la soluzione (una delle possibili!) è quella da te scritta. Inoltre, da questa, trovando
[math]m_1=mcm(3,6)=6,\qquad m_2=mcm(2,1)=2[/math]
e quindi
[math]d_1=MCD(4,16)=4,\qquad d_2=MCD(3, 18 )=3[/math]
da cui
[math](2x^2/3+16/6)(3x^2/2+9)=\frac{4}{6}(x^2+4)\cdot\frac{3}{2}(x^2+6)=(x^2+4)(x^2+6)[/math]
che è la fattorizzazione in Z!
ok grazie ciampax
un'ultima domanda:
un polinomio f(x) appartenente a Z è irriducibile se è primitivo?
ps: l'esercizio l'ho preso da una dispensa ke ho trovato online
:satisfied
un'ultima domanda:
un polinomio f(x) appartenente a Z è irriducibile se è primitivo?
ps: l'esercizio l'ho preso da una dispensa ke ho trovato online
:satisfied
No! Ad esempio
è primitivo (il MCD tra 1,1 e 2 è 1) ma è riducibile inquanto è uguale a
[math]x^2+2x+1[/math]
è primitivo (il MCD tra 1,1 e 2 è 1) ma è riducibile inquanto è uguale a
[math](x+1)^2[/math]
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