Fattorizzazione polinomi
Ciao a tutti, ho alcuni dubbi su delle scomposizioni di polinomi. Il primo del tipo N(x)/D(x) e far si che il numeratore venga di grado inferiore al denominatore.
In particolare: 2x^5+12x^3+x^2+6
--------------------------
x^3-4
Il denominatore diventa (x-4)(x^2+4x-16) e ci siamo, ma il numeratore non riesco a scomporlo. Con Ruffini non trovo radici del polinomio e penso non ve ne siamo tali che N(x)=0, allora ho provato la divisione con Q ed R, ma trovo un R= 9x^2+54 e un Q= 2x^2+12, in questo modo però N e D avrebbero lo stesso grado.
Poi volevo chiedere se in R (x^2-7) si riduce a (x+√7) (x-√7) giusto?
E infine un trinomio del tipo (x^4+5x^2+4) avendo delta>0, l'ho scomposto con incognita d'appoggio, ma le due soluzioni sono entrambe negative e quindi impossibili eguagliate a x^2, significa che il trinomio è irriducibile?
Grazie mille!
In particolare: 2x^5+12x^3+x^2+6
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x^3-4
Il denominatore diventa (x-4)(x^2+4x-16) e ci siamo, ma il numeratore non riesco a scomporlo. Con Ruffini non trovo radici del polinomio e penso non ve ne siamo tali che N(x)=0, allora ho provato la divisione con Q ed R, ma trovo un R= 9x^2+54 e un Q= 2x^2+12, in questo modo però N e D avrebbero lo stesso grado.
Poi volevo chiedere se in R (x^2-7) si riduce a (x+√7) (x-√7) giusto?
E infine un trinomio del tipo (x^4+5x^2+4) avendo delta>0, l'ho scomposto con incognita d'appoggio, ma le due soluzioni sono entrambe negative e quindi impossibili eguagliate a x^2, significa che il trinomio è irriducibile?
Grazie mille!
Risposte
Il denominatore non si fattorizza come scrivi.
Inoltre, che devi fare con quella frazione algebrica?
Semplificarla?
Inoltre, che devi fare con quella frazione algebrica?
Semplificarla?
Giusto che sbadato! Ma allora è irriducibile? Non riesco a capire sennò come possa porre i due termini con lo stesso esponente..
Si quella frazione dovrei semplificarla cosi: "scrivere le seguenti funzioni razionali come somma di un polinomio e di una funzione razionale in cui N ha grado minore di D."
Quindi penso bisogna operare con la divisone tra polinomi con Q e R, l'ho eseguita ma come scritto il resto mi viene di secondo grado, però nel caso x^3-4 fosse irriducibile andrebbe bene, dipende dal denom.
Si quella frazione dovrei semplificarla cosi: "scrivere le seguenti funzioni razionali come somma di un polinomio e di una funzione razionale in cui N ha grado minore di D."
Quindi penso bisogna operare con la divisone tra polinomi con Q e R, l'ho eseguita ma come scritto il resto mi viene di secondo grado, però nel caso x^3-4 fosse irriducibile andrebbe bene, dipende dal denom.
Ah, bene, allora la questione è semplice.
Dal teorema della divisione segue che esistono e sono unici due polinomi $Q(x)$ (quoziente) ed $R(x)$ (resto) tali che $N(x) = Q(x) D(x) + R(x)$ e $"grado" R < "grado" D$.
Dunque:
\[
\frac{N(x)}{D(x)} = \frac{Q(x) D(x) + R(x)}{D(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{D(x)}\; ,
\]
con l'ultimo membro che è la scomposizione che cerchi.
Dunque, ti basta svolgere la divisione $N(x) : D(x)$, determinando quoziente e resto, ed usare quoziente e resto per scrivere la scomposizione che ti serve.
Dal teorema della divisione segue che esistono e sono unici due polinomi $Q(x)$ (quoziente) ed $R(x)$ (resto) tali che $N(x) = Q(x) D(x) + R(x)$ e $"grado" R < "grado" D$.
Dunque:
\[
\frac{N(x)}{D(x)} = \frac{Q(x) D(x) + R(x)}{D(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{D(x)}\; ,
\]
con l'ultimo membro che è la scomposizione che cerchi.
Dunque, ti basta svolgere la divisione $N(x) : D(x)$, determinando quoziente e resto, ed usare quoziente e resto per scrivere la scomposizione che ti serve.
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