Fattoriali
Salve a tutti ragazzi.
Sono nuovo del forum e ringrazio anticipatamente chi vorrà darmi un aiutino.
Sono un po' arrugginito e non ricordo bene la storia del fattoriale
$ \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})(1-\frac{3}{n})...(1-\frac{k-1}{n}) $
In pratica non mi ricordo bene come procedere
Se per esempio do ad n il valore 6 ( per fare un esempio ) in pratica prendo i primi 6 addendi cioè
(1-1/n), (1-2/n), (1-3/n), (1-4/n), (1-5/n), (1-6/n) , ma non ricordo se il primo addendo (1-1/n) lo devo dividere per 0! o per 1!. Se il primo lo devo dividere per 0! l' ultimo ( il sesto) lo devo dividere per 5! e poi faccio la somma dei 6 addendi, mi sembra sia così, ma , ripeto, non ricordo...
Mi potreste dare un aiutino
Grazie infinite
Sono nuovo del forum e ringrazio anticipatamente chi vorrà darmi un aiutino.
Sono un po' arrugginito e non ricordo bene la storia del fattoriale
$ \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})(1-\frac{3}{n})...(1-\frac{k-1}{n}) $
In pratica non mi ricordo bene come procedere
Se per esempio do ad n il valore 6 ( per fare un esempio ) in pratica prendo i primi 6 addendi cioè
(1-1/n), (1-2/n), (1-3/n), (1-4/n), (1-5/n), (1-6/n) , ma non ricordo se il primo addendo (1-1/n) lo devo dividere per 0! o per 1!. Se il primo lo devo dividere per 0! l' ultimo ( il sesto) lo devo dividere per 5! e poi faccio la somma dei 6 addendi, mi sembra sia così, ma , ripeto, non ricordo...
Mi potreste dare un aiutino
Grazie infinite
Risposte
Secondo me stai facendo un po' di confusione e segnatamente stai confondendo il fattoriale con la sommatoria con ancora l'argomento di questa sommatoria in particolare.
1. Dato il numero naturale \( n \), qual è il suo fattoriale?
2. Il simbolo \( \Sigma \) è il simbolo di sommatoria: \( \Sigma_{i=1}^{n} i \) cosa significa?
1. Dato il numero naturale \( n \), qual è il suo fattoriale?
2. Il simbolo \( \Sigma \) è il simbolo di sommatoria: \( \Sigma_{i=1}^{n} i \) cosa significa?
ciao GD
Intanto ti ringrazio di avermi risposto.
E' possibilissimo che faccia confusione.E' doveroso a questo punto fare un passo indietro.
Sto studiando analisi matematica 1, ma è passato un po' di tempo da quando ho terminato le superiori e allora, come puoi immaginare, la cosa è critica !
Mi ricordo abbastanza bene alcune cose, tipo derivate un po' di calcolo integrale ( anche se non più di tanto ) e altre cosette e quello che non ricordo me le studio via via riprendendo i libri di matematica, oppure via internet e spero anche facendomi aiutare nei forum
Ma le sommatorie, serie numeriche, fattoriali può darsi benissimo che faccia confusione.
Intanto rispondo alle tue domande, così vediamo se in qualche modo ci arriviamo e sarei veramente felice se tu mi aiutassi ( o anche chiunque può farlo )
1 ) $ n(n-1)(n-2)(n-3)..2*1 $
in pratica se n è 5 , il prodotto vale 5x4x3x2x1 = 120
2) Sommatoria
$ \sum_{i=1}^{n}i=1+2+3..+(n-1)+n $
se n = 5 il risultato è 1+2+3+4+5= 15
Mi ricordo così,,,
Ti ringrazio già se mi aiuterai a capire il procedimento di partenza
ciao
Intanto ti ringrazio di avermi risposto.
E' possibilissimo che faccia confusione.E' doveroso a questo punto fare un passo indietro.
Sto studiando analisi matematica 1, ma è passato un po' di tempo da quando ho terminato le superiori e allora, come puoi immaginare, la cosa è critica !
Mi ricordo abbastanza bene alcune cose, tipo derivate un po' di calcolo integrale ( anche se non più di tanto ) e altre cosette e quello che non ricordo me le studio via via riprendendo i libri di matematica, oppure via internet e spero anche facendomi aiutare nei forum
Ma le sommatorie, serie numeriche, fattoriali può darsi benissimo che faccia confusione.
Intanto rispondo alle tue domande, così vediamo se in qualche modo ci arriviamo e sarei veramente felice se tu mi aiutassi ( o anche chiunque può farlo )
"G.D.":
1. Dato il numero naturale \( n \), qual è il suo fattoriale?
2. Il simbolo \( \Sigma \) è il simbolo di sommatoria: \( \Sigma_{i=1}^{n} i \) cosa significa?
1 ) $ n(n-1)(n-2)(n-3)..2*1 $
in pratica se n è 5 , il prodotto vale 5x4x3x2x1 = 120
2) Sommatoria
$ \sum_{i=1}^{n}i=1+2+3..+(n-1)+n $
se n = 5 il risultato è 1+2+3+4+5= 15
Mi ricordo così,,,
Ti ringrazio già se mi aiuterai a capire il procedimento di partenza
ciao
Ho un momento di pausa durante il lavoro e vorrei riprendere l' argomento e spero che l' utente G.D. o chi altro mi possa aiutare.
anche sollecitato dalla tua constatazione
in effetti penso di non aver chiaro proprio la "sintassi" della Sommatoria ed è per questo , che probabilmente, faccio confusione.Purtroppo la Sommatoria l' avrò fatta di sicuro ai suoi tempi, ma il tempo è passato....
Però, giustamente se l' indice è k allora l' argomento sella sommatoria è k!
perciò.
$ \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}...\frac{1}{(n-1)!}+\frac{1}{n!} $
Gli addendi della sommatoria pertanto sono questi e gli altri termini ( che avevo definito addendi nel mio primo post ) come si relazionano alla sommatoria ?
Riprendiamo l' espressione di base
$ (1+\frac{1}{n})^n=\sum_{k=0}^{n}(\frac{n}{k})\frac{1}{n^{k}}=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})(1-\frac{3}{n})...(1-\frac{k-1}{n}) $
Ammettiamo che n = 5 così con un esempio pratico è meglio
Allora l' espressione è giusta scritta in questo modo ?
$ \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}(1-\frac{1}{5})(1-\frac{2}{5})(1-\frac{3}{5})(1-\frac{4}5) $
E come relazione la sommatoria di n fattoriali con i termini dell' altra successione ? Sempre ammesso che abbia fatto bene.
Se puoi G.D.( o chiunque altro) dammi una mano a leggere le espressioni con segni di sommatoria
Grazie
anche sollecitato dalla tua constatazione
"G.D.":
Secondo me stai facendo un po' di confusione e segnatamente stai confondendo il fattoriale con la sommatoria con ancora l'argomento di questa sommatoria in particolare.
in effetti penso di non aver chiaro proprio la "sintassi" della Sommatoria ed è per questo , che probabilmente, faccio confusione.Purtroppo la Sommatoria l' avrò fatta di sicuro ai suoi tempi, ma il tempo è passato....
Però, giustamente se l' indice è k allora l' argomento sella sommatoria è k!
perciò.
$ \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}...\frac{1}{(n-1)!}+\frac{1}{n!} $
Gli addendi della sommatoria pertanto sono questi e gli altri termini ( che avevo definito addendi nel mio primo post ) come si relazionano alla sommatoria ?
Riprendiamo l' espressione di base
$ (1+\frac{1}{n})^n=\sum_{k=0}^{n}(\frac{n}{k})\frac{1}{n^{k}}=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})(1-\frac{3}{n})...(1-\frac{k-1}{n}) $
Ammettiamo che n = 5 così con un esempio pratico è meglio
Allora l' espressione è giusta scritta in questo modo ?
$ \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}(1-\frac{1}{5})(1-\frac{2}{5})(1-\frac{3}{5})(1-\frac{4}5) $
E come relazione la sommatoria di n fattoriali con i termini dell' altra successione ? Sempre ammesso che abbia fatto bene.
Se puoi G.D.( o chiunque altro) dammi una mano a leggere le espressioni con segni di sommatoria
Grazie
Di solito ciò che sta alla destra del simbolo di sommatoria è tutto argomento della stessa, non solo il primo termine immediatamente alla destra ...
Il testo originale com'è ? Tu cosa devi fare? cosa devi trovare?
Il testo originale com'è ? Tu cosa devi fare? cosa devi trovare?
Grazie axpgn per l' interessamento.
Allora, tutto parte per dimostrare che la successione
$ (1+\frac{1}{n})^n $
in n è una successione crescente e limitata superiormente
da qui, omettendo qui nel topic su quali basi( altrimenti la cosa si farebbe lunga) , in pratica riscrive la successione secondo la potenza del binomio di Newton
$ (1+\frac{1}{n})^n=\sum_{k=0}^{n}(\frac{n}{k})\frac{1}{n^{k}} $
che prendiamo per buona, visto che anche qui non conoscendolo ho dovuto documentarmi
Poi riscrive la sommatoria sviluppando il coefficiente binomiale n su k e continua moltiplicandolo per 1/n^k come si vede qui sotto
$ \sum_{k=0}^{n}\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)...(n-k+1)}{k!}\frac{1}{n^k} $
dopodiché isola 1/k! e sviluppa 1/n^k introducendo al denominatori k fattori n
$ \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}*\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)...(n-k+1)}{n*n*n........n} $
allorché semplifica i termini del nominatore con quelli del denominatore della frazione (lunga)
Il primo n al nominatore con il primo n del denominatore che fa ovviamente 1 e perciò non lo riporta, semplifica poi
(n-1) del nominatore con il secondo n del denominatore in pratica (n-1)/n scrivendolo nella forma 1-1/n e così via
$ \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})(1-\frac{3}{n})...(1-\frac{k-1}{n}) $
Anche se credo si sia sbagliato, in quanto l' ultimo termine al nominatore dovrebbe essere 1-k+1 e non 1-k-1, comunque non ha importanza, non è quello il problema.
Il problema è che se volessi risolvere questa sommatoria dando il valore 5 ad n
come si scrive ?
e qual'è il suo valore ?
Mi puoi aiutare ?
Ti ringrazio già da adesso per l' aiuto
ciao
Allora, tutto parte per dimostrare che la successione
$ (1+\frac{1}{n})^n $
in n è una successione crescente e limitata superiormente
da qui, omettendo qui nel topic su quali basi( altrimenti la cosa si farebbe lunga) , in pratica riscrive la successione secondo la potenza del binomio di Newton
$ (1+\frac{1}{n})^n=\sum_{k=0}^{n}(\frac{n}{k})\frac{1}{n^{k}} $
che prendiamo per buona, visto che anche qui non conoscendolo ho dovuto documentarmi
Poi riscrive la sommatoria sviluppando il coefficiente binomiale n su k e continua moltiplicandolo per 1/n^k come si vede qui sotto
$ \sum_{k=0}^{n}\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)...(n-k+1)}{k!}\frac{1}{n^k} $
dopodiché isola 1/k! e sviluppa 1/n^k introducendo al denominatori k fattori n
$ \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}*\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)...(n-k+1)}{n*n*n........n} $
allorché semplifica i termini del nominatore con quelli del denominatore della frazione (lunga)
Il primo n al nominatore con il primo n del denominatore che fa ovviamente 1 e perciò non lo riporta, semplifica poi
(n-1) del nominatore con il secondo n del denominatore in pratica (n-1)/n scrivendolo nella forma 1-1/n e così via
$ \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})(1-\frac{3}{n})...(1-\frac{k-1}{n}) $
Anche se credo si sia sbagliato, in quanto l' ultimo termine al nominatore dovrebbe essere 1-k+1 e non 1-k-1, comunque non ha importanza, non è quello il problema.
Il problema è che se volessi risolvere questa sommatoria dando il valore 5 ad n
come si scrive ?
e qual'è il suo valore ?
Mi puoi aiutare ?
Ti ringrazio già da adesso per l' aiuto
ciao
Devi solo calcolarla per $n=5$ ? Ma questa è la parte facile, è il resto che è un casino! 
Premesso che non sono un esperto e assumendo per buono tutto quello che viene prima dell'ultima espressione, proviamo ...
$ \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})(1-\frac{3}{n})...(1-\frac{k-1}{n}) $
Se $n=5$ allora la sommatoria avrà $6$ addendi da $k=0$ a $k=5$.
In effetti quel $k-1$ mi crea un po' di difficoltà perciò partiamo dall'ultimo addendo che sarà $1/(5!)*(1-1/5)(1-2/5)(1-3/5)(1-(5-1)/5)=(4*3*2*1)/(5!*5^4)=1/5^5$
Il penultimo sarà $1/(4!)*(1-1/5)(1-2/5)(1-(4-1)/5)=(3*2*1)/(4!*5^3)=1/(4*5^3)$ e così via ...
i primi due termini però mi lasciano perplesso ... sarebbe utile l'intervento di qualcuno che ne sappia di più ...
Cordialmente, Alex
Premesso che non sono un esperto e assumendo per buono tutto quello che viene prima dell'ultima espressione, proviamo ...
$ \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})(1-\frac{3}{n})...(1-\frac{k-1}{n}) $
Se $n=5$ allora la sommatoria avrà $6$ addendi da $k=0$ a $k=5$.
In effetti quel $k-1$ mi crea un po' di difficoltà perciò partiamo dall'ultimo addendo che sarà $1/(5!)*(1-1/5)(1-2/5)(1-3/5)(1-(5-1)/5)=(4*3*2*1)/(5!*5^4)=1/5^5$
Il penultimo sarà $1/(4!)*(1-1/5)(1-2/5)(1-(4-1)/5)=(3*2*1)/(4!*5^3)=1/(4*5^3)$ e così via ...
i primi due termini però mi lasciano perplesso ... sarebbe utile l'intervento di qualcuno che ne sappia di più ...
Cordialmente, Alex
Ho verificato lo sviluppo che hai scritto e mi torna, compreso $n-k+1=n-(k-1)$ ...
Grazie axpgn
Penso di aver capito, ma mi rimane il dubbio per il quale avevo dubitato di non saper svolgere le sommatorie ( è questo in effetti era anche vero ) e cioè il problema dell' equivalenza delle espressioni
$ (1+\frac{1}{n})^n=\sum_{k=0}^{n}(\frac{n}{k})\frac{1}{n^{k}}=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})(1-\frac{3}{n})...(1-\frac{k-1}{n}) $
in quanto facendo la sommatoria nel modo che mi hai spiegato ( e che a questo punto anch'io penso che vada bene )
$ \sum_{k=0}^{5}\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})(1-\frac{3}{n})...(1-\frac{k-1}{n}) $
il risultato allora è
$ \sum_{0}^{5}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!5^0}+\frac{1}{2!5}+\frac{1}{3!5^2}+\frac{1}{4!5^3}+\frac{1}{5!5^4}=1+1+\frac{1}{10}+\frac{1}{75}+\frac{1}{500}+\frac{1}{75000} $
Che è poco più di 2,1 , ma che non è uguale a
$ (1+\frac{1}{5})^5 $ che è circa 2,49
Non so davvero dove stia l' errore.
d'altronde non lo posso nemmeno far presente al prof che l' ha spiegato, in quanto è una video lezione.
Forse in un secondo momento ridiscuterò la cosa nella sessione universitaria di questo forum.
Non l' ho fatto subito perché non avevo certo il coraggio di farlo se nemmeno sapevo come operare con i segni di sommatoria
e poi mi guarderò bene il coefficienti binomiali.
Per adesso ti ringrazio veramente tanto e se per caso qualcuno ha una risposta al problema è ben accetto perché non è certo di fuori che la cosa non mi torni per errori banali a causa della ruggine che si formata nella testa in questi anni
Penso di aver capito, ma mi rimane il dubbio per il quale avevo dubitato di non saper svolgere le sommatorie ( è questo in effetti era anche vero ) e cioè il problema dell' equivalenza delle espressioni
$ (1+\frac{1}{n})^n=\sum_{k=0}^{n}(\frac{n}{k})\frac{1}{n^{k}}=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})(1-\frac{3}{n})...(1-\frac{k-1}{n}) $
in quanto facendo la sommatoria nel modo che mi hai spiegato ( e che a questo punto anch'io penso che vada bene )
$ \sum_{k=0}^{5}\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})(1-\frac{3}{n})...(1-\frac{k-1}{n}) $
il risultato allora è
$ \sum_{0}^{5}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!5^0}+\frac{1}{2!5}+\frac{1}{3!5^2}+\frac{1}{4!5^3}+\frac{1}{5!5^4}=1+1+\frac{1}{10}+\frac{1}{75}+\frac{1}{500}+\frac{1}{75000} $
Che è poco più di 2,1 , ma che non è uguale a
$ (1+\frac{1}{5})^5 $ che è circa 2,49
Non so davvero dove stia l' errore.
d'altronde non lo posso nemmeno far presente al prof che l' ha spiegato, in quanto è una video lezione.
Forse in un secondo momento ridiscuterò la cosa nella sessione universitaria di questo forum.
Non l' ho fatto subito perché non avevo certo il coraggio di farlo se nemmeno sapevo come operare con i segni di sommatoria
e poi mi guarderò bene il coefficienti binomiali.Per adesso ti ringrazio veramente tanto e se per caso qualcuno ha una risposta al problema è ben accetto perché non è certo di fuori che la cosa non mi torni per errori banali a causa della ruggine che si formata nella testa in questi anni
Le equivalenze a me tornano; la prima non so come salta fuori ma se "sperimenti" un po', i conti tornano, mentre le altre, a mio parere, sono corrette; invece ho ancora perplessità sul calcolo della sommatoria, e non perché tu non l'abbia calcolata esattamente, ma perché i primi due termini non riesco a calcolarli con quel metodo ... aspettiamo qualcuno ... 
E non preoccuparti di postare dubbi, c'è di tutto ...
Cordialmente, Alex
E non preoccuparti di postare dubbi, c'è di tutto ...
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Le equivalenze a me tornano; la prima non so come salta fuori ma se "sperimenti" un po', i conti tornano, mentre le altre, a mio parere, sono corrette;
Spiegati meglio.
"la prima quali intendi ? e le altre corrette ?
Intendo questa: $ (1+\frac{1}{n})^n=\sum_{k=0}^{n}((n),(k))\frac{1}{n^{k}} $
I passaggi successivi per me sono corretti.
Il dubbio è nel calcolo della sommatoria $\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})(1-\frac{3}{n})...(1-\frac{k-1}{n}) $
Per ognuno dei $k$ valori (e quindi per ogni addendo della sommatoria) hai $k-1$ fattori di questo tipo: $1-a_i/n$
Ora questo funziona per $k=..., 5, 4, 3, 2$; per $k=1$ potrebbe funzionare se consideriamo "zero" fattori di quel tipo; ma per $k=0$ non saprei cosa dire ...
Cordialmente, Alex
I passaggi successivi per me sono corretti.
Il dubbio è nel calcolo della sommatoria $\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})(1-\frac{3}{n})...(1-\frac{k-1}{n}) $
Per ognuno dei $k$ valori (e quindi per ogni addendo della sommatoria) hai $k-1$ fattori di questo tipo: $1-a_i/n$
Ora questo funziona per $k=..., 5, 4, 3, 2$; per $k=1$ potrebbe funzionare se consideriamo "zero" fattori di quel tipo; ma per $k=0$ non saprei cosa dire ...
Cordialmente, Alex
Ho capito.
Bene,intanto ho fatto progressi sulle sommatorie e per questo ti ringrazio e alla prossima
ciao
Bene,intanto ho fatto progressi sulle sommatorie e per questo ti ringrazio e alla prossima
ciao
L'uguaglianza
\[
\left ( 1 + \frac{1}{n} \right ) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{1}{n^{k}}
\]
si giustifica con il teorema binomiale, per il quale vale la seguente più generale uguaglianza:
\begin{equation}
\left ( a + b \right )^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}b^{k}
\end{equation}
Con \( a = 1 \) e \( b = \frac{1}{n} \) si ottiene l'uguaglianza iniziale, giacché è sempre \( 1^{n - k} = 1 \).
Per quanto riguarda il simbolo di sommatoria e fin dove esso vada esteso (i.e. fin dove l'espressione che lo segue è da intendersi come la formula per ottenere i singoli addendi al variare dell'indice di sommatoria, in questo caso \( k \)), alcuni scrivono una parentesi di apertura appena dopo il simbolo di sommatoria e poi una di chiusura dopo l'argomento della sommatoria, altri no. In entrambi i casi, per staccare la sommatoria da ciò che la segue si chiude l'intera sommatoria con una coppia di parentesi, usandone una prima della sommatoria ed un'altra alla fine dell'argomento della sommatoria. Inoltre è buona abitudine tenere d'occhio l'indice della sommatoria: non ha ovviamente senso lasciare l'indice della sommatoria in una espressione al di fuori della sommatoria poiché è nello sviluppo della sommatoria che l'indice prende i valori numerici.
Così, ad esempio, nella seguente scrittura
\[
\sum_{i=0}^{6} 3i^2 - 2i + 4
\]
da alcuni scritta come
\[
\sum_{i=0}^{n} (3i^2 - 2i + 4)
\]
è da intendersi che tutta l'espressione \( 3i^{2} - 2i + 4 \) va usata per ottenere per ciascuno dei valori di \( i \) da \( 0 \) a \( 6 \) uno degli addendi (in questo caso sette) della somma che la sommatoria condensa. Indi per cui per \( i = 0 \) il primo addendo è \( 3 \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0 + 4 = 4 \), per \( i = 1 \) il secondo addendo è \( 3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 + 4 = 5 \) e così via fino al settimo addendo che per \( i = 6 \) è \( 3 \cdot 6^{2} - 2 \cdot 6 + 4 = 100 \), sicché il valore della sommatoria è dato da \( 4 + 5 + 12 + 25 + 44 + 69 + 100 = 259 \).
Scrivendo invece
\[
\left ( \sum_{i=0}^{6} 3i^2 - 2i \right ) + 4
\]
è da intendersi che il \( 4 \) fuori dalla sommatoria vada utilizzato una volta soltanto, aggiungendolo al valore di tutta la sommatoria.
Per quanto riguarda invece il dubbio espresso da axpgn, i.e. come trattare la prima parentesi della sommatoria quando \( k = 0 \), la risposta sta nella definizione giusta di coefficiente binomiale: ecco perché avevo chiesto a Maxibon di dare la definizione di fattoriale. A questa domanda Maxibon ha così risposto:
Ora. Quello che è stato scritto, sul piano operativo, è corretto: il fattoriale di \( n \) si ottiene moltiplicando tra loro i numeri naturali che si ottengono andando a ritroso da \( n \) ad \( 1 \); ma per \( n = 0 \)? Come si fa ad andare a ritroso da \( 0 \) ad \( 1 \)? Il problema è risolto dal fatto che "si sa" che \( 0 ! = 1 \): ma cosa significa che "si sa" che \( 0 ! = 1 \)? Significa che la definizione corretta di fattoriale è quella ricorsiva:
\[
n ! =
\begin{cases}
1 & \text{se $n = 0$} \\
(n - 1) ! \cdot n & \text{se $n > 0$}
\end{cases}
\]
Posta questa definizione ricorsiva, assume un senso la scrittura con i puntini \( n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot (n - 3) \cdots 1 \) come espansione del fattoriale da usare quando occorre "giocare" formalmente col fattoriale per modificare la forma di una espressione che lo contiene.
Allo stesso modo posta la definizione corretta di coefficiente binomiale, si capisce qual è il senso di quella scrittura con le parentesi e i puntini perché quella scrittura altro non è che l'espansione del simbolo di coefficiente binomiale utile quando occorre manipolare una espressione che lo contiene.
Uno dei modi per definire il coefficiente binomiale è questo: si dimostra che \( k! (n - k)! \) divide \( n! \) per \( n, k \) naturali non nulli con \( k \leq n \), sicché la frazione \( \displaystyle \frac{n!}{k!(n - k)!} \) è un numero naturale; inoltre si estende la definizione ai casi con \( k = 0 \) ed \( n = 0 \) grazie al fatto che \( 0! = 1 \); sicché infine si pone per definizione \( \displaystyle \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!} \). In alternativa si può procedere sulla strada della combinatoria introducendo i concetti di disposizione, permutazione e combinazione ma alla fine sempre a ciò si giunge: potete leggere per esempio questo articolo proprio di Matematicamente.it scritto da Flavio Cimolin.
Sta di fatto che, comunque si definisca il coefficiente binomiale, una volta che questo è stato definito si capisce che quelle parentesi tonde vanno scritte quando \( k \neq 0 \) mentre quando \( k = 0 \) non ci sono parentesi da scrivere e si pone direttamente \( 1 \). Non so se riesco a rendere l'idea.
Prendendo allora l'uguaglianza
\[
\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\left(1-\frac{3}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)
\]
posto \(n = 5 \) si ottiene:
• per \( k = 5 \), il primo addendo: \( \displaystyle \frac{1}{5!} \left ( 1 - \frac{1}{5} \right ) \left ( 1 - \frac{2}{5} \right ) \left ( 1 - \frac{3}{5} \right ) \left ( 1 - \frac{4}{5} \right ) = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{5! \cdot 5^{4}} = \frac{1}{5^{5}} = \frac{1}{3125}\)
• per \( k = 4 \), il secondo addendo: \( \displaystyle \frac{1}{4!} \left ( 1 - \frac{1}{5} \right ) \left ( 1 - \frac{2}{5} \right ) \left ( 1 - \frac{3}{5} \right ) = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{4! \cdot 5^{3}} = \frac{1}{5^{3}} = \frac{1}{125}\)
• per \( k = 3 \), il terzo addendo: \( \displaystyle \frac{1}{3!} \left ( 1 - \frac{1}{5} \right ) \left ( 1 - \frac{2}{5} \right ) = \frac{4 \cdot 3}{3! \cdot 5^{2}} = \frac{2}{5^{2}} = \frac{2}{25}\)
• per \( k = 2 \), il quarto addendo: \( \displaystyle \frac{1}{2!} \left ( 1 - \frac{1}{5} \right ) = \frac{4}{2! \cdot 5} = \frac{2}{5} = \frac{2}{5}\)
• per \( k = 1 \), non ci sono parentesi da scrivere e il quinto addendo è \( 1 \), infatti \( \displaystyle \binom{5}{1}\cdot\frac{1}{5^{1}}=\frac{5!}{1! \cdot 4!}\cdot\frac{1}{5}=1 \)
• per \( k = 0 \) non ci sono parentesi da scrivere e il sesto addendo è ancora \( 1 \), infatti \( \displaystyle \binom{5}{0}\cdot\frac{1}{5^{0}}=\frac{5!}{0! \cdot 5!}\cdot\frac{1}{1}=1 \)
infine la sommatoria vale: \( \displaystyle \frac{1}{3125} + \frac{1}{25} + \frac{2}{25} + \frac{2}{5} + 1 + 1 = 2.48832 \) che infatti coincide con \( \displaystyle \left ( 1 + \frac{1}{5} \right )^{5} \).
\[
\left ( 1 + \frac{1}{n} \right ) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{1}{n^{k}}
\]
si giustifica con il teorema binomiale, per il quale vale la seguente più generale uguaglianza:
\begin{equation}
\left ( a + b \right )^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}b^{k}
\end{equation}
Con \( a = 1 \) e \( b = \frac{1}{n} \) si ottiene l'uguaglianza iniziale, giacché è sempre \( 1^{n - k} = 1 \).
Per quanto riguarda il simbolo di sommatoria e fin dove esso vada esteso (i.e. fin dove l'espressione che lo segue è da intendersi come la formula per ottenere i singoli addendi al variare dell'indice di sommatoria, in questo caso \( k \)), alcuni scrivono una parentesi di apertura appena dopo il simbolo di sommatoria e poi una di chiusura dopo l'argomento della sommatoria, altri no. In entrambi i casi, per staccare la sommatoria da ciò che la segue si chiude l'intera sommatoria con una coppia di parentesi, usandone una prima della sommatoria ed un'altra alla fine dell'argomento della sommatoria. Inoltre è buona abitudine tenere d'occhio l'indice della sommatoria: non ha ovviamente senso lasciare l'indice della sommatoria in una espressione al di fuori della sommatoria poiché è nello sviluppo della sommatoria che l'indice prende i valori numerici.
Così, ad esempio, nella seguente scrittura
\[
\sum_{i=0}^{6} 3i^2 - 2i + 4
\]
da alcuni scritta come
\[
\sum_{i=0}^{n} (3i^2 - 2i + 4)
\]
è da intendersi che tutta l'espressione \( 3i^{2} - 2i + 4 \) va usata per ottenere per ciascuno dei valori di \( i \) da \( 0 \) a \( 6 \) uno degli addendi (in questo caso sette) della somma che la sommatoria condensa. Indi per cui per \( i = 0 \) il primo addendo è \( 3 \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0 + 4 = 4 \), per \( i = 1 \) il secondo addendo è \( 3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 + 4 = 5 \) e così via fino al settimo addendo che per \( i = 6 \) è \( 3 \cdot 6^{2} - 2 \cdot 6 + 4 = 100 \), sicché il valore della sommatoria è dato da \( 4 + 5 + 12 + 25 + 44 + 69 + 100 = 259 \).
Scrivendo invece
\[
\left ( \sum_{i=0}^{6} 3i^2 - 2i \right ) + 4
\]
è da intendersi che il \( 4 \) fuori dalla sommatoria vada utilizzato una volta soltanto, aggiungendolo al valore di tutta la sommatoria.
Per quanto riguarda invece il dubbio espresso da axpgn, i.e. come trattare la prima parentesi della sommatoria quando \( k = 0 \), la risposta sta nella definizione giusta di coefficiente binomiale: ecco perché avevo chiesto a Maxibon di dare la definizione di fattoriale. A questa domanda Maxibon ha così risposto:
"Maxibon":
1 ) $ n(n-1)(n-2)(n-3)..2*1 $
in pratica se n è 5 , il prodotto vale 5x4x3x2x1 = 120
Ora. Quello che è stato scritto, sul piano operativo, è corretto: il fattoriale di \( n \) si ottiene moltiplicando tra loro i numeri naturali che si ottengono andando a ritroso da \( n \) ad \( 1 \); ma per \( n = 0 \)? Come si fa ad andare a ritroso da \( 0 \) ad \( 1 \)? Il problema è risolto dal fatto che "si sa" che \( 0 ! = 1 \): ma cosa significa che "si sa" che \( 0 ! = 1 \)? Significa che la definizione corretta di fattoriale è quella ricorsiva:
\[
n ! =
\begin{cases}
1 & \text{se $n = 0$} \\
(n - 1) ! \cdot n & \text{se $n > 0$}
\end{cases}
\]
Posta questa definizione ricorsiva, assume un senso la scrittura con i puntini \( n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot (n - 3) \cdots 1 \) come espansione del fattoriale da usare quando occorre "giocare" formalmente col fattoriale per modificare la forma di una espressione che lo contiene.
Allo stesso modo posta la definizione corretta di coefficiente binomiale, si capisce qual è il senso di quella scrittura con le parentesi e i puntini perché quella scrittura altro non è che l'espansione del simbolo di coefficiente binomiale utile quando occorre manipolare una espressione che lo contiene.
Uno dei modi per definire il coefficiente binomiale è questo: si dimostra che \( k! (n - k)! \) divide \( n! \) per \( n, k \) naturali non nulli con \( k \leq n \), sicché la frazione \( \displaystyle \frac{n!}{k!(n - k)!} \) è un numero naturale; inoltre si estende la definizione ai casi con \( k = 0 \) ed \( n = 0 \) grazie al fatto che \( 0! = 1 \); sicché infine si pone per definizione \( \displaystyle \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!} \). In alternativa si può procedere sulla strada della combinatoria introducendo i concetti di disposizione, permutazione e combinazione ma alla fine sempre a ciò si giunge: potete leggere per esempio questo articolo proprio di Matematicamente.it scritto da Flavio Cimolin.
Sta di fatto che, comunque si definisca il coefficiente binomiale, una volta che questo è stato definito si capisce che quelle parentesi tonde vanno scritte quando \( k \neq 0 \) mentre quando \( k = 0 \) non ci sono parentesi da scrivere e si pone direttamente \( 1 \). Non so se riesco a rendere l'idea.
Prendendo allora l'uguaglianza
\[
\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\left(1-\frac{3}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)
\]
posto \(n = 5 \) si ottiene:
• per \( k = 5 \), il primo addendo: \( \displaystyle \frac{1}{5!} \left ( 1 - \frac{1}{5} \right ) \left ( 1 - \frac{2}{5} \right ) \left ( 1 - \frac{3}{5} \right ) \left ( 1 - \frac{4}{5} \right ) = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{5! \cdot 5^{4}} = \frac{1}{5^{5}} = \frac{1}{3125}\)
• per \( k = 4 \), il secondo addendo: \( \displaystyle \frac{1}{4!} \left ( 1 - \frac{1}{5} \right ) \left ( 1 - \frac{2}{5} \right ) \left ( 1 - \frac{3}{5} \right ) = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{4! \cdot 5^{3}} = \frac{1}{5^{3}} = \frac{1}{125}\)
• per \( k = 3 \), il terzo addendo: \( \displaystyle \frac{1}{3!} \left ( 1 - \frac{1}{5} \right ) \left ( 1 - \frac{2}{5} \right ) = \frac{4 \cdot 3}{3! \cdot 5^{2}} = \frac{2}{5^{2}} = \frac{2}{25}\)
• per \( k = 2 \), il quarto addendo: \( \displaystyle \frac{1}{2!} \left ( 1 - \frac{1}{5} \right ) = \frac{4}{2! \cdot 5} = \frac{2}{5} = \frac{2}{5}\)
• per \( k = 1 \), non ci sono parentesi da scrivere e il quinto addendo è \( 1 \), infatti \( \displaystyle \binom{5}{1}\cdot\frac{1}{5^{1}}=\frac{5!}{1! \cdot 4!}\cdot\frac{1}{5}=1 \)
• per \( k = 0 \) non ci sono parentesi da scrivere e il sesto addendo è ancora \( 1 \), infatti \( \displaystyle \binom{5}{0}\cdot\frac{1}{5^{0}}=\frac{5!}{0! \cdot 5!}\cdot\frac{1}{1}=1 \)
infine la sommatoria vale: \( \displaystyle \frac{1}{3125} + \frac{1}{25} + \frac{2}{25} + \frac{2}{5} + 1 + 1 = 2.48832 \) che infatti coincide con \( \displaystyle \left ( 1 + \frac{1}{5} \right )^{5} \).
Complimenti vivissimi per la dissertazione ed in special modo per la chiarezza. 
Solo un paio di note:
1)
Che stupido!
Non ho pensato alla cosa più ovvia ... come nella dimostrazione di questa $sum_(r=0)^n ((n),(r))=2^n$ che è banalissima se si riesce a cogliere il caso particolare ...
2) Invece continua a non convincermi il calcolo dei primi due termini della sommatoria ...
I fattori "tra parentesi" sono uno meno di $k$ quindi quando $k=1$ i fattori di quel tipo dovrebbero essere pari a zero; però in tal caso cambia la forma ma non la sostanza e quindi OK; però nel caso $k=0$ i fattori dovrebbe essere pari a $-1$ che non ha nessun senso ... ... e non riesco a trovare una "scappatoia", una giustificazione ...
Lo so e mi sta benissimo che $(0!)=1$, è una convenzione ed è coerente con il "resto" ma in quell'ultima sommatoria non stiamo trattando fattoriali ma semplicemente "fattori che ci devono o non ci devono essere" ...
Perplesso ma ci ragionerò su ...
Cordialmente, Alex
Solo un paio di note:
1)
"G.D.":
L'uguaglianza
\[ \left ( 1 + \frac{1}{n} \right ) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{1}{n^{k}} \]
si giustifica con il teorema binomiale, per il quale vale la seguente più generale uguaglianza:
\[ \begin{equation} \left ( a + b \right )^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}b^{k} \end{equation} \]
Che stupido!
Non ho pensato alla cosa più ovvia ... come nella dimostrazione di questa $sum_(r=0)^n ((n),(r))=2^n$ che è banalissima se si riesce a cogliere il caso particolare ...
2) Invece continua a non convincermi il calcolo dei primi due termini della sommatoria ...
I fattori "tra parentesi" sono uno meno di $k$ quindi quando $k=1$ i fattori di quel tipo dovrebbero essere pari a zero; però in tal caso cambia la forma ma non la sostanza e quindi OK; però nel caso $k=0$ i fattori dovrebbe essere pari a $-1$ che non ha nessun senso ...
... e non riesco a trovare una "scappatoia", una giustificazione ...Lo so e mi sta benissimo che $(0!)=1$, è una convenzione ed è coerente con il "resto" ma in quell'ultima sommatoria non stiamo trattando fattoriali ma semplicemente "fattori che ci devono o non ci devono essere" ...
Perplesso ma ci ragionerò su ...
Cordialmente, Alex
L'uso di quei puntini è suggestivo.
Non devi pensare a quei puntini e a quelle parentesi come qualcosa da scrivere obbligatoriamente nel calcolo della sommatoria ma come qualcosa da scrivere se ha senso scriverlo compatibilmente con la definizione di fattoriale e di coefficiente binomiale.
La scrittura \( \displaystyle \left ( 1 - \frac{1}{n} \right) \left ( 1 - \frac{2}{n} \right ) \left ( 1 - \frac{3}{n} \right ) \cdots \left ( 1 - \frac{k - 1}{n} \right) \) "suggerisce" che quando \( k \) assume un certo valore occorre scrivere tante parentesi quante sono necessarie per diminuire l'unità di una frazione di \( n \) dal numeratore crescente da \( 1 \) a \( k - 1 \). Ovviamente quando \( k = 0 \) e quando \( k = 1 \) questa suggestione non ha senso: il numeratore della frazione di \( n \) non può infatti aumentare da \( 1 \) a \( -1 \) o da \( 1 \) a \( 0 \). Ma poiché questa scrittura è l'espansione del coefficiente binomiale moltiplicato da \( \displaystyle \frac{1}{n^{k}} \), sappiamo cosa fare anche quando non possiamo scrivere queste parentesi: prendiamo il coefficiente binomiale moltiplicato da \( \displaystyle \frac{1}{n^{k}} \) e usiamo le definizioni.
In effetti per \( k = 1 \) l'ho messa giù proprio nel modo sbagliato mentre per \( k = 0 \) sono stato sbrigativo.
Correggo.
Non devi pensare a quei puntini e a quelle parentesi come qualcosa da scrivere obbligatoriamente nel calcolo della sommatoria ma come qualcosa da scrivere se ha senso scriverlo compatibilmente con la definizione di fattoriale e di coefficiente binomiale.
La scrittura \( \displaystyle \left ( 1 - \frac{1}{n} \right) \left ( 1 - \frac{2}{n} \right ) \left ( 1 - \frac{3}{n} \right ) \cdots \left ( 1 - \frac{k - 1}{n} \right) \) "suggerisce" che quando \( k \) assume un certo valore occorre scrivere tante parentesi quante sono necessarie per diminuire l'unità di una frazione di \( n \) dal numeratore crescente da \( 1 \) a \( k - 1 \). Ovviamente quando \( k = 0 \) e quando \( k = 1 \) questa suggestione non ha senso: il numeratore della frazione di \( n \) non può infatti aumentare da \( 1 \) a \( -1 \) o da \( 1 \) a \( 0 \). Ma poiché questa scrittura è l'espansione del coefficiente binomiale moltiplicato da \( \displaystyle \frac{1}{n^{k}} \), sappiamo cosa fare anche quando non possiamo scrivere queste parentesi: prendiamo il coefficiente binomiale moltiplicato da \( \displaystyle \frac{1}{n^{k}} \) e usiamo le definizioni.
In effetti per \( k = 1 \) l'ho messa giù proprio nel modo sbagliato mentre per \( k = 0 \) sono stato sbrigativo.
Correggo.
"G.D.":
Non devi pensare a quei puntini e a quelle parentesi come qualcosa da scrivere obbligatoriamente
Ecco, questa mi pare proprio la frase chiave, quella che mi mancava ... però siccome mi ci vuole tempo (diverso tempo ...
) prima che mi convinca, ci penserò su ancora ... Cordialmente, Alex
Vedi: in effetti, nel caso specifico di quelle parentesi, il problema è il perché quelle parentesi sono state scritte.
Lo scopo di quella espansione e di quella manipolazione di \( \displaystyle \binom{n}{k}\cdot\frac{1}{n^{k}} \) non è dare al lettore una formula alternativa che permetta di calcolare i singoli addendi della sommatoria. Lo scopo è mostrare che la successione \( \displaystyle a_{n} = \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^{n} \) è strettamente crescente: volendo cioè provare che \( a_{n} < a_{n+1} \), si espandono \( \displaystyle \binom{n}{k}\cdot\frac{1}{n^{k}} \) e \( \displaystyle \binom{n+1}{k}\cdot\frac{1}{(n+1)^{k}} \) per mostrare che i singoli addendi delle due sommatorie che in base al binomio di Newton espandono a loro volta \( \displaystyle a_{n} = \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^{n} \) e \( \displaystyle a_{n+1} = \left ( 1 + \frac{1}{n+1} \right )^{n+1} \) si ottengono per mezzo di prodotti di un ugual numero di fattori, in corrispondenza di ciascun valore di \( k \), fatti in modo tale che i fattori che intervengono in \( a_{n} \) sono minori dei fattori che intervengono in \( a_{n+1} \), in corrispondenza di ciascun valore di \( k \), fatti ovviamente salvi gli addendi unitari delle due sommatorie.
In altri termini: usare la sommatoria che si ottiene dopo la manipolazione di \( \displaystyle \binom{n}{k}\cdot\frac{1}{n^{k}} \) per calcolare il valore della sommatoria stessa è quasi un errore.
Lo scopo di quella espansione e di quella manipolazione di \( \displaystyle \binom{n}{k}\cdot\frac{1}{n^{k}} \) non è dare al lettore una formula alternativa che permetta di calcolare i singoli addendi della sommatoria. Lo scopo è mostrare che la successione \( \displaystyle a_{n} = \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^{n} \) è strettamente crescente: volendo cioè provare che \( a_{n} < a_{n+1} \), si espandono \( \displaystyle \binom{n}{k}\cdot\frac{1}{n^{k}} \) e \( \displaystyle \binom{n+1}{k}\cdot\frac{1}{(n+1)^{k}} \) per mostrare che i singoli addendi delle due sommatorie che in base al binomio di Newton espandono a loro volta \( \displaystyle a_{n} = \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^{n} \) e \( \displaystyle a_{n+1} = \left ( 1 + \frac{1}{n+1} \right )^{n+1} \) si ottengono per mezzo di prodotti di un ugual numero di fattori, in corrispondenza di ciascun valore di \( k \), fatti in modo tale che i fattori che intervengono in \( a_{n} \) sono minori dei fattori che intervengono in \( a_{n+1} \), in corrispondenza di ciascun valore di \( k \), fatti ovviamente salvi gli addendi unitari delle due sommatorie.
In altri termini: usare la sommatoria che si ottiene dopo la manipolazione di \( \displaystyle \binom{n}{k}\cdot\frac{1}{n^{k}} \) per calcolare il valore della sommatoria stessa è quasi un errore.
Effettivamente quello era solo un passaggio della dimostrazione solo che Maxibon l'ha preso come esempio per calcolare "una" sommatoria e da lì è nato il tutto ... tant'è che io, all'inizio, avevo ricostruito la sequenza al contrario pensando fosse quello il suo scopo ... e c'ero pure riuscito ... 
Cordialmente e Buona notte, Alex
Cordialmente e Buona notte, Alex
"axpgn":
Effettivamente quello era solo un passaggio della dimostrazione solo che Maxibon l'ha preso come esempio per calcolare "una" sommatoria
Si avevo preso questa dimostrazione come esempio per capire le sommatorie, come ho avuto modo di spiegare in uno dei post.
Il coefficiente binomiale e tutto ciò che gli sta intorno l' avevo preso per buono, perché non li ho mai fatti alle scuole superiori e riproponendomi di studiarli, come in effetti ho già fatto (solo un pochino per adesso )
Adesso con quello che ho trovato in rete e a quello che ha spiegato G.D. guardo se mi faccio le idee chiare.
"G.D.":
Prendendo allora l'uguaglianza
\[ \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\left(1-\frac{3}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right) \]
posto \( n = 5 \) si ottiene:
• per \( k = 5 \), il primo addendo: \( \displaystyle \frac{1}{5!} \left ( 1 - \frac{1}{5} \right ) \left ( 1 - \frac{2}{5} \right ) \left ( 1 - \frac{3}{5} \right ) \left ( 1 - \frac{4}{5} \right ) = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{5! \cdot 5^{4}} = \frac{1}{5^{5}} = \frac{1}{3125} \)
• per \( k = 4 \), il secondo addendo: \( \displaystyle \frac{1}{4!} \left ( 1 - \frac{1}{5} \right ) \left ( 1 - \frac{2}{5} \right ) \left ( 1 - \frac{3}{5} \right ) = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{4! \cdot 5^{3}} = \frac{1}{5^{3}} = \frac{1}{125} \)
• per \( k = 3 \), il terzo addendo: \( \displaystyle \frac{1}{3!} \left ( 1 - \frac{1}{5} \right ) \left ( 1 - \frac{2}{5} \right ) = \frac{4 \cdot 3}{3! \cdot 5^{2}} = \frac{2}{5^{2}} = \frac{2}{25} \)
• per \( k = 2 \), il quarto addendo: \( \displaystyle \frac{1}{2!} \left ( 1 - \frac{1}{5} \right ) = \frac{4}{2! \cdot 5} = \frac{2}{5} = \frac{2}{5} \)
• per \( k = 1 \), non ci sono parentesi da scrivere e il quinto addendo è \( 1 \), infatti \( \displaystyle \binom{5}{1}\cdot\frac{1}{5^{1}}=\frac{5!}{1! \cdot 4!}\cdot\frac{1}{5}=1 \)
• per \( k = 0 \) non ci sono parentesi da scrivere e il sesto addendo è ancora \( 1 \), infatti \( \displaystyle \binom{5}{0}\cdot\frac{1}{5^{0}}=\frac{5!}{0! \cdot 5!}\cdot\frac{1}{1}=1 \)
infine la sommatoria vale: \( \displaystyle \frac{1}{3125} + \frac{1}{25} + \frac{2}{25} + \frac{2}{5} + 1 + 1 = 2.48832 \) che infatti coincide con \( \displaystyle \left ( 1 + \frac{1}{5} \right )^{5} \).
Grazie G.D. adesso è chiaro ( stavo ancora sbagliando a fare le giuste operazioni dentro la sommatoria ).
Che dire, ragazzi, io vi ringrazio infinitamente , siete meglio che del professore a casa
Tanto poi ti inviamo la fattura a mezzo posta prioritaria!
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