Fattoriale formule:
Ho trovato queste due formule per il calcolo del fattoriale, ma esse differiscono: sono uguali solo per numeri interi.
$ n! = F(n) = \prod_ {k=0}^(n-1) (k + 1) $
$ n! = F(n) = \prod_ {k=0}^(n/2-1) (n - 2k - 1)(n - 2k) $ ( approssimazione? )
Sapete spiegarmi perché avvengono in matematica tali similitudini?
La prima è una generalizzazione della seconda? Grazie.
$ n! = F(n) = \prod_ {k=0}^(n-1) (k + 1) $
$ n! = F(n) = \prod_ {k=0}^(n/2-1) (n - 2k - 1)(n - 2k) $ ( approssimazione? )
Sapete spiegarmi perché avvengono in matematica tali similitudini?
La prima è una generalizzazione della seconda? Grazie.
Risposte
La prima formula è la definizione del fattoriale. Normalmente è ricordata come
$n! =prod_(h=1)^n h$
ma con la sostituzione $h=k+1$ può essere scritta nel modo da te riportato.
La seconda invece vale solo per $n$ pari e corrisponde a raggruppare i fattori due a due scriverli partendo dai due più grandi. Io preferirei partire da $1*2$ e farei quindi la sostituzione $2h=n-2k$; la formula diventa
$n! =prod_(h=1)^(n/2)(2h-1)*2h$
Nulla vieta di fare la sostituzione in modo che la produttoria parta da zero: basta porre $2h=n-2k-2$. Come gusto personale, mi piace poco; può però essere utile in qualche calcolo.
$n! =prod_(h=1)^n h$
ma con la sostituzione $h=k+1$ può essere scritta nel modo da te riportato.
La seconda invece vale solo per $n$ pari e corrisponde a raggruppare i fattori due a due scriverli partendo dai due più grandi. Io preferirei partire da $1*2$ e farei quindi la sostituzione $2h=n-2k$; la formula diventa
$n! =prod_(h=1)^(n/2)(2h-1)*2h$
Nulla vieta di fare la sostituzione in modo che la produttoria parta da zero: basta porre $2h=n-2k-2$. Come gusto personale, mi piace poco; può però essere utile in qualche calcolo.
[xdom="@melia"]Chiudo per multiposting, la discussione è presente anche in Analisi Matematica, mi scuso con giammaria.[/xdom]
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