Fascio di rette - retta passante per l'origine

[Marco1985Mn]

So già che verrò cazziato

testo : "dato il fascio di rette di equazione $(k-1)x+(2k+3)y-2=0$ determina il centro, se esiste, e trova il valore del parametro k consenta di trovare la retta che passa per l'origine degli assi."

detto ciò prendo due arbitrari valori di k, e incrocio le due equazioni a sistema (non riporto i passaggi per brevità).
Il centro risulta essere di coordinate $(-4/5;2/5)$
bon a questo punto se l'esercizio mi chiede di trovare, tra le infinite rette passanti per il centro, quella che passa per l'origine applico l'equazione della retta che passa per due punti al centro $(-4/5;2/5)$ e all'origine $(0;0)$.
trovo l'equazione della retta passante per i due punti indicati $y=-1/2x$
l'esercizio però mi da come risultato impossibile
A questo punto provo a vedere se il coefficiente angolare $-1/2$ riesco ad ottenerlo nell'equazione del fascio di rette; pertanto sapendo che $m=-a/b$ allora $m=(-k+1)/(2k+3)$
impongo $(-k+1)/(2k+3)=-1/2$ ed effettivamente il risultato è impossibile.

a questo punto mi chiedo:
ma se per un punto passano infinite rette (in un fascio proprio come questo), cavolo tra queste infinite rette ce ne deve essere per forza una che passa per l'origine no? ci sarà bene una retta con coefficiente angolare $-1/2$ tra le infinite che ci sono a disposizione.
Come è possibile che se per un punto passano infinite rette non ce ne sia una che passa per l'origine?
grazie mille.

[@melia]

Ciao Marco, come ti ho già fatto notare alcuni interventi fa, un fascio di rette espresso con un solo parametro non contiene tutte le rette passanti per il centro, gliene manca una, quella che ho chiamato retta limite.
Nel caso in oggetto $ (k-1)x+(2k+3)y-2=0 $ la retta limite si trova moltiplicando il tutto e poi raccogliendo $k$

$kx-x+2ky+3y-2=0$

$-x+3y-2+k(x+2y)=0$

Nella forma così scritta la retta base è $-x+3y-2=0$ mentre la retta limite, cioè quella che non è possibile ottenere assegnando dei valori a $k$ è la retta $x+2y=0$, appunto quella passante per l'origine.

Inoltre osserva bene: la consegna non è trovare la retta passante per l'origine, ma
trova il valore del parametro k che consenta di trovare la retta passante per l'origine degli assi
e questo valore non esiste, proprio perché quella passante per l'origine è la retta limite.

[Marco1985Mn]

"@melia":
Nella forma così scritta la retta base è $-x+3y-2=0$ mentre la retta limite, cioè quella che non è possibile ottenere assegnando dei valori a $k$ è la retta $x+2y=0$, appunto quella passante per l'origine.

è proprio questo il problema @melia, il concetto non mi era per nulla chiaro.
Nello specifico se io ad esempio assegnassi $k=1$ riotterrei la retta limite o no?
o tu intendi che sommando la retta base alla retta limite comunque non potrei riottenere solo la retta limite?

Per rendere il tutto più alla mia portata, stavo pensando all'esempio delle lancette di un orologio, forse è questo che mi frega; la lancetta dei secondi la pensavo come la retta limite, che però quando fa un giro completo attorno al centro, poi ritorna nella posizione di partenza, mentre qui tutto questo non è possibile giusto?
Quindi in questo tipo di fascio non ci sono infinite retta che passano per il centro?
grazie mille

[@melia]

La retta limite NON gira, è una retta fissa, è una retta “confine”. Per valori alti di k ti avvicini da una parte, per valori molto bassi (-10, -100, ...) ti avvicini dall’altra parte, ma non la raggiungi.
Con $k=1$ ottieni
$-x+3y-2+x+2y=0$ cioè $5y-2=0$ che non c’entra con la retta cercata.
Assegnando un valore numerico a k non puoi mai ottenere la retta limite.

Le rette sono infinite, ma non sono tutte le rette.

[@melia]

Per capire meglio come funziona prova ad disegnare le due rette del fascio (la retta base e quella limite) poi assegni dei valori positivi crescenti a k e disegni le rette ottenute. Quindi assegna dei valori negativi decrescenti e disegna le rette. Forse così cominci a capire come funziona.

[Marco1985Mn]

"@melia":Per capire meglio come funziona prova ad disegnare le due rette del fascio (la retta base e quella limite) poi assegni dei valori positivi crescenti a k e disegni le rette ottenute. Quindi assegna dei valori negativi decrescenti e disegna le rette. Forse così cominci a capire come funziona.

"@melia":La retta limite NON gira, è una retta fissa, è una retta “confine”.
Assegnando un valore numerico a k non puoi mai ottenere la retta limite.
Le rette sono infinite, ma non sono tutte le rette.

Vediamo se ho capito; la retta limite mi serve per trovare l'equazione del fascio, ma non fa parte del fascio.
In questo esercizio la retta che collegava il centro del fascio con l'origine è proprio la ratte limite che non è mai possibile ottenere. Al massimo con $k=0$ riotterrei la prima retta.
Mi sbrigo a disegnarle, avrei dovuto farlo prima.
Grazie come sempre