Fascio di rette (77258)

[wolf1995]

Nel fascio di rette di equazione (4k+1)x + (k+1)y -3=0 di centro A, individua la retta r parallela all'asse delle ascisse.
b) Determina la retta s del fascio che forma con la direzione positiva dell'asse delle ascisse un angolo di 45°
c) Sia t la retta simmetrica della retta r rispetto alla bisettrice del secondo e del quarto quadrante. Sia B il punto di intersezione tra s e t. Determina l'equazione del quarto lato del trapezio isoscele ABCD, avente base minore AB, un lato obliquo su r e la cui area misura 36.
d) Calcola il perimetro del triangolo che si ottiene prolungando i lati obliqui del trapezio.

[bimbozza]

a) le rette parallele all'asse x hanno forma y=q quindi bisogna azzerare il coefficiente angolare.
Per prima cosa portiamo l'equazione del fascio in forma esplicita:

[math]y= \frac{-(4k+1)x+3}{k+1}[/math]

il coefficiente angolare è quindi

[math]\frac{-(4k+1)}{k+1}[/math]

, lo poniamo uguale a zero ed otteniamo k=-1/4 quindi, inserendo nel nostro fascio il valore di k trovato, otteniamon la retta r: y=4

b)in poche parole deve essere parallela alla bisettrice del primo e del terzo quadrante(y=x), quindi deve avere un coefficiente angolare pari a 1.
come già detto prima il coefficiente angolare è

[math]\frac{-(4k+1)}{k+1}[/math]

, e questa volta lo poniamo uguale a 1 ed otteniamo k=-2/5 quindi, inserendo nel nostro fascio il valore di k trovato, otteniamo la retta s: y=x+5

c) per prima cosa dobbiamo trovare il centro A del fascio, facendo l'intersezione tra due rette appartenenti ad esso, ad esempio r e s, trovando così il punto (-1,4).
La retta t simmetrica ad r rispetto alla bisettrice del terzo e quarto quadrante ha equazione x=-4.
L'intersezione tra t e s ci dà B (-4,1). C e D si troveranno su una retta u parallela a s di equazione generica y=x+q. facendo le intersezioni tra la retta u e le rette r e s troviamo C (4-q,4) e D( -4,q-4).
Adesso che conosciamo tutti e quattro i punti del trapezio, possiamo calcolare la misura di AB, CD e dell'altezza necessari per il calcolo dell'area.
CD=

[math]sqrt{(8-q)^2+(8-q)^2}= |8-q| sqrt{2}[/math]

AB=

[math]sqrt{(4-1)^2+(-1+4)^2}= 3sqrt{2}[/math]

per calcolare l'altezza h dobbiamo usare la formula della distanza tra un punto (ad esempio B) e una retta (u).
h=

[math]\frac{|-4(1)+1(-1)+q|}{sqrt{2}}=[\frac{|q-5|}{sqrt{2}}[/math]

adesso impostiamo la formula dell'area (AB*CD)h/2 e la poniamo uguale a 36.
otteniamo

[math] |-q^2+16q-55|=72 [/math]

che ci dà due sistemi di cui uno solo ha soluzioni (non li imposto perchè dovresti essere in grado di svolgerlo da te) pari a q=-1 e q=17. Quindi le rette che rendono possibili ciò che il testo ci richiede sono y=x-1 e y=x+17

d) i lati obliqui (rappresentati dalle rette y=4 e x=-4) si incontrano in un punto E (-4,4), formando il triangolo ECD. Non importa quale delle due rette trovate consideri, il risultato sarà lo stesso.
Prendiamo ad esempio la retta y=x-1 e quindi i punti C (5,4) e D(-4,-5).
EC=ED= 5+4=9
CD=

[math]sqrt{9^2+9^2}=9 sqrt{2}[/math]

quindi il perimetro è

[math]9+9+9sqrt {2}=9(2+sqrt{2})[/math]

[wolf1995]

grazie mille,mi hai dato un grande aiuto