Fascio di parabole avente vertice su una retta

[vanpic]

Buongiorno,
sia la retta di equazione $3x-2y=11$ il luogo geometrico descritto dai vertici di un fascio di parabole aventi asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate e come unico punto base $P(1;-4)$.
Si scriva l'equazione del fascio escludendo il caso del fascio di parabole che hanno tutte vertice in P.

Ho posto il vertice $V(k ; 3/2k-11/2)$ come condizione di appartenenza alla retta, da cui ricavo:
$-b/(2a)=k$ e $(4ac-b^2)/(4a)=3/2k-11/2$
come terza condizione ho imposto il passaggio per P: $a+b+c=-4$

Mettendo a sistema ottengo il fascio:

$y=3/(2(1-k))x^2-(3k)/(1-k)x+(14k-11)/(2(1-k))$

in effetti ho visto su geogebra che ha la retta $3x-2y=11$ come luogo dei vertici.

Ma la soluzione che da il testo è molto più semplificata:
$y=(1+k)x^2-(2k-1)x+k-6$

Come posso ottenerla? Grazie per l'aiuto

[LoreT314]

Beh è chiaro che la tua soluzione e quella del libro non sono equivalenti. O hai sbagliato tu o il libro (o entrambi). La strategia che usi però mi sembra corretta, hai risolto bene il sistema?

[Quinzio]

Chiaramente il "tuo" $k$ non e' lo stesso $k$ che usa il testo.
Nel testo potremmo chiamarlo $k'$.

Diciamo che quello che vorresti e' che dalla tua espressione:

$ y=3/(2(1-k))x^2-(3k)/(1-k)x+(14k-11)/(2(1-k)) $

sparissero le frazioni con la $k$ al denominatore.

Un modo relativamente semplice e' questo....

Ri-scriviamo la tua espressione in modo da normalizzare il denominatore

$ y=-3/(2(k-1))x^2+(3k)/(k-1)x+(-14k+11)/(2(k-1)) $

quindi effettui la divisione polinomiale delle espressioni in $k$

$ y=-3/(2(k-1))x^2+(3 -3/(k-1))x-7-3/2 1/(k-1) $

Adesso ti basta mettere $k' = 1/(k-1)$ per ottenere una piu' semplice:

$ y=-3/2 k' x^2+3(1 - k' )x-7-3/2 k' $

chiaramente questo $k'$ non e' lo stesso usato nel testo, ma il concetto di base non cambia.

Tra l'altro non e' molto difficile trovare la funzione $k' = f(k)$ che hanno usato nel testo.

Riesci a trovarla da solo ?

[vanpic]

grazie per la risposta, chiamando m il parametro del testo, dovrebbe essere $k'=-2/3(1+m)$.
però la

$ y=-3/(2(k-1))x^2+(3 -3/(k-1))x-7-3/2 1/(k-1) $

a me risulta
$ y=-3/(2(k-1))x^2+(3 +3/(k-1))x-7-3/2 1/(k-1) $
e quindi: $y=-3/2 k' x^2+3(1 + k' )x-7-3/2 k' $

così mi ritorna il fascio $y=(1+m)x^2-(2m-1)x+m-6$

[Quinzio]

Ho sbagliato a scrivere un segno, ok.