Fasci Iperboli e simmetrie

[Elena41]

Ciao,
vi scrivo per avere un aiuto.. Qualcuno mi da qualche indizio su come risolvere questo problema con gli strumenti dell'algebra e della geometria analitica?

Si condieri il fascio di equazione y = ((k-1)x+2)/(kx- 4) con k parametro reale. Determinare per quale valore di k l'equazione rappresenta una iperbole simmetrica rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.

Grazie!

[marcosocio]

Riscrivo per chiarezza: $y = ((k-1)x+2)/(kx- 4)$.

Questo è un fascio di funzioni omografiche e la prima cosa che farei per risovere l'esercizio è pensare che se l'iperbole deve essre simmetrica rispetto a $y=x$, allora le coordinate del suo centro devono essere uguali. Perciò, ricordando che $C(-d/c;a/c)$, si imposta l'equazione $4/k=(k-1)/k$, che ha come soluzione $k=5$.

Comunque non sono sicuro che quello che ti ho appena scritto sia la soluzione giusta!

[@melia]

"marcosocio":Comunque non sono sicuro che quello che ti ho appena scritto sia la soluzione giusta!

E allora verifichiamolo: una curva è simmetrica rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante se $x$ e $y$ possono essere scambiati tra loro.
Prendo l'equazione della curva con $k=5$ e ottengo
$y = (4x+2)/(5x- 4)$, scambio $x$ con $y$ ottenendo
$x = (4y+2)/(5y- 4)$, a questo punto ricavo la $y$ di nuovo, allora denominatore comune
$5xy-4x=4y+2$, isolo i termini in $y$,
$5xy-4y=4x+2$, raccolgo $y$
$y(5x-4)=4x+2$, divido per $5x-4$
$y=(4x+2)/(5x-4)$ e ho riottenuto la stessa curva che quindi risulta simmetrica rispetto alla bisettrice.

[marcosocio]

Wow perfetto allora! Quindi quella funzione è l'inversa di sè stessa!

[Elena41]

Chiarissimo! Grazie molte!!!

[marcosocio]

Figurati!