Fasci di rette (201438)

[franciteckno]

nel fascio di rette generato dalle rette di equazioni x-2y+4 = 0 ; 2x+y-2=0, determina le rette che intersecano gli assi in due punti A e B che AB=4

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Cominciamo con lo scrivere il fascio di rette generato dalle due rette in oggetto:

[math](x - 2y + 4) + k(2x + y - 2) = 0[/math]

che manipolandolo un attimino lo pos-
siamo riscrivere come:

[math](2k + 1)x + (k - 2)y + (4 - 2k) = 0[/math]

, per

[math]k \in \mathbb{R}\\[/math]

.

Detti rispettivamente

[math]A[/math]

e

[math]B[/math]

dei generici punti appartenenti all'asse delle ascis-
se e all'asse delle ordinate, essi avranno coordinate del tipo

[math](x,\,0)[/math]

e

[math](0,\,y)[/math]

.
Quindi, imponendo rispettivamente il passaggio delle rette del fascio per tali punti,
si ottiene

[math]x = \frac{2k - 4}{2k + 1}[/math]

ed

[math]y = \frac{2k - 4}{k - 2}\\[/math]

.

Ebbene, perché si verifichi

[math]\overline{AB}^2 = 4^2[/math]

, grazie al teorema di Pitagora, deve
essere

[math]x^2 + y^2 = 4^2[/math]

, ossia

[math]\left(\frac{2k - 4}{2k + 1}\right)^2 + \left(\frac{2k - 4}{k - 2}\right)^2 = 4^2[/math]

, equazione
verificata per

[math]\small k = \frac{- 8 \pm 5\sqrt{3}}{11}[/math]

. Non rimane che sostituire tali valori nell'equazione
del fascio di rette determinando così le equazioni delle due rette soluzioni del pro-
blema.

Spero sia sufficientemente chiaro. ;)

[franciteckno]

dovrebbe fare y= radice di 3 su 3x+2
con i tuoi passaggi.. non mi viene
Grazie in anticipo