Fasci di rette.

[jaja.clef]

Salve a tutti. Sto facendo un esercizio su i fasci di rette, ma mi sono accorta che non sta tornando per niente. Allora.
Dato il fascio di rette di equazione (k+1)x-2y+1+k=0
detto C il centro del fascio e r la retta di equazione x+y-2=0 siano A e B le intersezioni di r con le generatrici del fascio. Determinare le coordinate del circocentro e dell'ortocentro del triangolo ABC.

Allora, innanzitutto ho trovato il centro sostituendo due numeri qualsiasi all'equazione del fascio, trovando così x=-1/2 e y=1/2
Poi ho trovato le generatrici, isolando k, e mi tornano essere: x=-1 e x-2y+1=0
Poi ho provato a fare il sistema della retta r con x=1 e x-2y+1=0, rispettivamente i punti di intersezione tornano essere (-1;-4) e (3;2), ma controllando il disegno delle rette non i conti non tornano.
E poi, volevo chiedere come si trova il circocentro e l'ortocentro del triangolo (anche in generale).

Grazie :)

Aggiunto 4 giorni più tardi:

Grazie mille ! :) ci sono riuscita!

[BIT5]

Per prima cosa il centro del fascio e' errato.

Se attribuisci a k due valori casuali, ricavi due rette del fascio, la cui intersezione (ovvero il sistema tra le due equazioni) e' il punto da cui passano tutte le rette (il centro del fascio)

Riprova con i conti

Oppure troviamo piu' semplicemente le generatrici del fascio.

Eseguiamo la moltiplicazione:

[math] kx+x-2y+1+k=0 [/math]

Riscriviamo prima i termini dove compare la k

[math] kx+k+x-2y+1=0 [/math]

E raccogliamo la k

[math] k(x+1)+x-2y+1=0 [/math]

A questo punto, come hai scritto giustamente tu, hai le generatrici del fascio.

Siccome una retta e' verticale e ha sempre ascissa = -1, non passerebbe dal tuo centro (x=-1/2) e pertanto abbiamo la conferma che il tuo centro e' errato.

Il centro del fascio e' anche l'intersezione tra le due generatrici (che sono ovviamente due rette del fascio)

[math] \{x+1=0 \\ x-2y+1=0 [/math]

da cui ottieni x=-1 e y=0

Il centro e' dunque (-1,0)

L'intersezione di r con x=-1 sara'

[math] \{x=-1 \\ -1+y-2=0 [/math]

e dunque il punto di intersezione sara' (-1,3)

e l'altro

[math] \{x+y-2=0 \\ x-2y+1=0 [/math]

isoliamo la x in entrambe le equazioni (ma puoi risolvere il sistema come preferisci)

[math] \{x=2-y \\ x=2y-1 [/math]

E dunque per confronto

[math] 2-y=2y-1 \to 3=3y \to y= 1 [/math]

e quindi sostituendo in una delle due equazioni

[math] x=2- 1=1 [/math]

L'altro punto sara' (1,1)

Direi che hai commesso parecchi errori, ovviamente se il fascio e la retta r hanno effettivamente le equazioni che hai scritto tu :)

Infine:

il circocentro e' il punto di intersezione degli assi.

L'asse e' il segmento perpendicolare al lato e passante per il suo punto medio.

Per trovare il circocentro sono sufficienti due assi.

Ricavi dunque il punto medio tra due vertici, grazie alle note formule:

[math] x_M= \frac{x_1+x_2}{2} \ \ \ \ y_M= \frac{y_1+y_2}{2} [/math]

A questo punto ricavi la retta passante per il punto medio e perpendicolare al lato (ovvero avente pendenza = all'antireciproco della pendenza della retta passante per il lato (ovvero

[math] m_A=- \frac{1}{m_L} [/math]

dove mA e' la pendenza dell'asse e mL e' la pendenza (o coefficiente angolare) della retta a cui il lato appartiene))

A questo punto, trovate le equazioni di 2 assi, metti a ssitema e trovi il punto di intersezione.

Per l'ortocentro, invece ricavi le altezze. qui e' piu' semplice. Le altezze avranno pendenza uguale a quella degli assi (ovvero = all'antireciproco della pendenza delle rette su cui giaciono i lati) ma dovranno passare per il vertice opposto, anziche' per il punto medio.

Analogamente a quanto fatto per il circocentro, metterai a sistema due altezze trovate, ricavando il loro punto di intersezione.

Se hai dubbi chiedi pure..