Fasci di Parabole!!!
Ciao raga avrei un dubbio sui fasci di parabole. Allora il libro dice che i fasc si ottengono da una combinazione lineari di due parabole ottenendo quindi un'equazione di questo tipo:
$ y-ax^2-bx-x+k(y-a_1x^2-b_1x-c_1)=0 $
la quale può essere scritta anche nelle forma:
$ (1+k)y-(a+ka_1)x^2-(b+kb_1)x-(c+kc_1)=0 $
e per k /= -1 :
$ y=[(a+ka_1)/(1+k)]x^2+[(b+kb_1)/(1+k)]x+(c+kc_1)/(1+k) $
In seguito mi spiega quando i punti base, quando le parabole degenerano in rette ecc.
Poi però mi dice che in generale un fascio di parabole lo troviamo nella forma:
$ y=(a+ka_1)x^2+(b+kb_1)x+(c+kc_1) $
e che per trovare i punti base la si scrive nella forma:
$ y=k(a_1x^2+b_1x+c_1)+ax^2+bx+c $
e poi risolvendo 'equazione $ a_1x^2+b_1x+c_1=0 $ trovavo le ascisse dei punti base.
Cioè non ho capito perchè il fascio si può scrivere anche in quel modo e perchè risolvendo quell'equazione mi trovo le ascisse dei punti base.
$ y-ax^2-bx-x+k(y-a_1x^2-b_1x-c_1)=0 $
la quale può essere scritta anche nelle forma:
$ (1+k)y-(a+ka_1)x^2-(b+kb_1)x-(c+kc_1)=0 $
e per k /= -1 :
$ y=[(a+ka_1)/(1+k)]x^2+[(b+kb_1)/(1+k)]x+(c+kc_1)/(1+k) $
In seguito mi spiega quando i punti base, quando le parabole degenerano in rette ecc.
Poi però mi dice che in generale un fascio di parabole lo troviamo nella forma:
$ y=(a+ka_1)x^2+(b+kb_1)x+(c+kc_1) $
e che per trovare i punti base la si scrive nella forma:
$ y=k(a_1x^2+b_1x+c_1)+ax^2+bx+c $
e poi risolvendo 'equazione $ a_1x^2+b_1x+c_1=0 $ trovavo le ascisse dei punti base.
Cioè non ho capito perchè il fascio si può scrivere anche in quel modo e perchè risolvendo quell'equazione mi trovo le ascisse dei punti base.
Risposte
"agostino95":
Ciao raga avrei un dubbio sui fasci di parabole. Allora il libro dice che i fasc si ottengono da una combinazione lineari di due parabole ottenendo quindi un'equazione di questo tipo:
$ y-ax^2-bx-x+k(y-a_1x^2-b_1x-c_1)=0 $
la quale può essere scritta anche nelle forma:
$ (1+k)y-(a+ka_1)x^2-(b+kb_1)x-(c+kc_1)=0 $
e per k /= -1 :
$ y=[(a+ka_1)/(1+k)]x^2+[(b+kb_1)/(1+k)]x+(c+kc_1)/(1+k) $
In seguito mi spiega quando i punti base, quando le parabole degenerano in rette ecc.
Poi però mi dice che in generale un fascio di parabole lo troviamo nella forma:
$ y=(a+ka_1)x^2+(b+kb_1)x+(c+kc_1) $
e che per trovare i punti base la si scrive nella forma:
$ y=k(a_1x^2+b_1x+c_1)+ax^2+bx+c $
e poi risolvendo 'equazione $ a_1x^2+b_1x+c_1=0 $ trovavo le ascisse dei punti base.
Cioè non ho capito perchè il fascio si può scrivere anche in quel modo e perchè risolvendo quell'equazione mi trovo le ascisse dei punti base.
$ y=(a+ka_1)x^2+(b+kb_1)x+(c+kc_1) $ è l'equazione generale del fascio di parabole.
Svolgendo i prodotti e raccogliendo $k$ hai la seguente: $ y=k(a_1x^2+b_1x+c_1)+ax^2+bx+c $ (*)
Questo è chiaro?
Per trovare i punti base, invece, considererei le due parabole generatrici del fascio (nella (*) si vedono bene): $y = a_1x^2+b_1x+c_1$ e $y = ax^2+bx+c$.
Ora basta risolvere il sistema seguente:
$y = a_1x^2+b_1x+c_1$
$y = ax^2+bx+c$
e determinare così gli eventuali punti di intersezione.
A prima vista non so che utilità abbia la soluzione di $a_1x^2+b_1x+c_1 = 0$
scusa l'equazione generale del fascio non è questa?
$ y-ax^2-bx-x+k(y-a_1x^2-b_1x-c_1)=0 $ (1)
e poi isolando la y ottieni questa?
$ y=[(a+ka_1)/(1+k)]x^2+[(b+kb_1)/(1+k)]x+(c+kc_1)/(1+k) $ (2)
Cioè quella che hai scritto tu e la (2) sono equivalenti? Se no vorrei capire perchè il fascio si può scrivere anche in quella forma e i punti base si possono trovare nel modo in cui ho citato nel primo post.
Scusate il disturbo.
$ y-ax^2-bx-x+k(y-a_1x^2-b_1x-c_1)=0 $ (1)
e poi isolando la y ottieni questa?
$ y=[(a+ka_1)/(1+k)]x^2+[(b+kb_1)/(1+k)]x+(c+kc_1)/(1+k) $ (2)
Cioè quella che hai scritto tu e la (2) sono equivalenti? Se no vorrei capire perchè il fascio si può scrivere anche in quella forma e i punti base si possono trovare nel modo in cui ho citato nel primo post.
Scusate il disturbo.
"agostino95":
scusa l'equazione generale del fascio non è questa?
$ y-ax^2-bx-x+k(y-a_1x^2-b_1x-c_1)=0 $ (1)
e poi isolando la y ottieni questa?
$ y=[(a+ka_1)/(1+k)]x^2+[(b+kb_1)/(1+k)]x+(c+kc_1)/(1+k) $ (2)
Cioè quella che hai scritto tu e la (2) sono equivalenti? Se no vorrei capire perchè il fascio si può scrivere anche in quella forma e i punti base si possono trovare nel modo in cui ho citato nel primo post.
Scusate il disturbo.
Aspetta, ho fatto confusione nel post precedente.
Hai ragione, questa è l'equazione generale del fascio $phi$: $ y-ax^2-bx-c+k(y-a_1x^2-b_1x-c_1)=0 $ la quale può essere scritta nella forma (2).
Dove $y-ax^2-bx-c = 0$ , $y-a_1x^2-b_1x-c_1=0$ sono le generatrici del fascio.
Tuttavia - da quello che hai riportato - l'autore scrive che spesso l'equazione del fascio ha la forma:
$y = ax^2+bx+c + k(a_1x^2 + b_1x + c_1)$
In questo caso le parabole generatrici sono la $y = ax^2 + bx + c$ e la $a_1x^2 + b_1x + c_1 = 0$
La seconda parabola è degenere; il suo grafico consiste in una coppia di rette $x = x_1$ , $x = x_2$ dove $x_1 , x_2$ sono le radici dell'equazione $a_1x^2 + b_1x + c_1 = 0$.
I punti base devono soddisfare le equazioni delle generatrici; quindi le ascisse dei punti base sono necessariamente $x_1$ e $x_2$.
E questo è il motivo che ti porta a considerare le soluzioni di $a_1x^2 + b_1x + c_1 = 0$ per determinare i punti base.
Hai ragione!!! Grazie mille!!! 
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