Fasci di circonferenze
Qualcuno potrebbe spiegarmi in che modo, date due circonferenze appartenenti ad un fascio, si possa determinare quella avente centro su una data retta? Potreste aiutarmi magari con qualche esempio?
Risposte
Ciao,
purtroppo su questo computer non ho nessun sftware di grafica, quindi cerchero' di fare del mio meglio a parole....
Immagino che intendevi dire il rfascio generato dalle due circonferenze, vero?
Ci sono diversi modi, secondo me il piu' carino e' questo:
Considera i due punti A e B di intersezione delle due circonferenze date. Tutte le circonferenze del fascio devono passare per A e B. Tutti icentri di tutte le circonferenze del fascio si devono trovare dunque sull'asse del segmento AB (trovane l'equazione). Ill tuo problema ti chiede di trovare, fra tutte, la circonferenza avente centro su una data retta (di cui hai l'equazione, no?) Ma allora il centro (chiamiamolo O)deve essere l['intersezione fra la retta data e l'asse di AB. Il raggio poi sara' evidentemente OA o OB, a scelta.
Un altro modo puo' essere quello di scrivere l'equazione del fascio di circonferenze generato dalle due note. Tale equazione sara' uguale a quella di una circonferenza, con in piu' il parametro k. Calocola le coordinate del centro della circonferenza, in funzione di k. Troverai le coordinate di un punto in cui compare k! Imponi al punto l'appartenenza alla retta data e troverai k. Per rispondere al problema, a questo punto inserisci il valore trovato per k nell'equazione del fascio e troverai la circonferenza cercata.
Spero di essere stato chiaro, fammi sapere, casomai ci riprovo, ora sto un po' di corsa che fra un po' devono arrivare i miei alunni.
Ciao,
Giuseppe
purtroppo su questo computer non ho nessun sftware di grafica, quindi cerchero' di fare del mio meglio a parole....
Immagino che intendevi dire il rfascio generato dalle due circonferenze, vero?
Ci sono diversi modi, secondo me il piu' carino e' questo:
Considera i due punti A e B di intersezione delle due circonferenze date. Tutte le circonferenze del fascio devono passare per A e B. Tutti icentri di tutte le circonferenze del fascio si devono trovare dunque sull'asse del segmento AB (trovane l'equazione). Ill tuo problema ti chiede di trovare, fra tutte, la circonferenza avente centro su una data retta (di cui hai l'equazione, no?) Ma allora il centro (chiamiamolo O)deve essere l['intersezione fra la retta data e l'asse di AB. Il raggio poi sara' evidentemente OA o OB, a scelta.
Un altro modo puo' essere quello di scrivere l'equazione del fascio di circonferenze generato dalle due note. Tale equazione sara' uguale a quella di una circonferenza, con in piu' il parametro k. Calocola le coordinate del centro della circonferenza, in funzione di k. Troverai le coordinate di un punto in cui compare k! Imponi al punto l'appartenenza alla retta data e troverai k. Per rispondere al problema, a questo punto inserisci il valore trovato per k nell'equazione del fascio e troverai la circonferenza cercata.
Spero di essere stato chiaro, fammi sapere, casomai ci riprovo, ora sto un po' di corsa che fra un po' devono arrivare i miei alunni.
Ciao,
Giuseppe
Ti ringrazio per la spiegazione, ma vorrei porti una domanda riguardo il primo metodo di risoluzione. Per trovare i punti di intersezione delle due circonferenze (x^2+y^2-4x-4y+3=0 ; x^2+y^2-8x+7=0) che poi avranno centro sulla retta di equazione 9x-15y-20=0 dovrei fare un sistema fra le due circonferenze. Alla fine però mi ritroverei con equazioni di grado superiore al secondo, o erro?
Se metti a sistema le due circonferenze, ottieni ottieni un'equazioine risolutiva di secondo grado:
x^2+y^2-4x-4y+3=x^2+y^2-8x+7, giusto? ora i termini di secondo grado si semplificano e resta:
-4x-4y+3=-8x+7, da cui
4y=4x-4 e quindi
y=x-1.
sostituendo in una delle due equazioni si ha:
x^2+(x-1)^2-4x-4(x-1)+3=0
x^2+x^2-2x+1-4x-4x+4+3=0
2x^2-10x+8=0
x^2-5x+4=0
(x-4)*(x-1)=0
x=4 e x=1 Quindi i due punti A e B sono
A(4;3) e B(1;0)
(NB: se ti fosse venuta un'equazione impossibile significava che le due circonferenze non si intersecavano e che quindi non generavano nessun fascio)
A questo punto puoi procedere con l'equazione per trovare l'asse del segmento AB e procedere all'intersezione con la retta data.
Fammi sapere se i conti ti tornano,
ciao
Giuseppe
x^2+y^2-4x-4y+3=x^2+y^2-8x+7, giusto? ora i termini di secondo grado si semplificano e resta:
-4x-4y+3=-8x+7, da cui
4y=4x-4 e quindi
y=x-1.
sostituendo in una delle due equazioni si ha:
x^2+(x-1)^2-4x-4(x-1)+3=0
x^2+x^2-2x+1-4x-4x+4+3=0
2x^2-10x+8=0
x^2-5x+4=0
(x-4)*(x-1)=0
x=4 e x=1 Quindi i due punti A e B sono
A(4;3) e B(1;0)
(NB: se ti fosse venuta un'equazione impossibile significava che le due circonferenze non si intersecavano e che quindi non generavano nessun fascio)
A questo punto puoi procedere con l'equazione per trovare l'asse del segmento AB e procedere all'intersezione con la retta data.
Fammi sapere se i conti ti tornano,
ciao
Giuseppe
Per la precisione ricordo che due circonferenze, di
un medesimo piano,formano sempre un fascio.
Esso e' detto:
a)Ellittico se le due circonferenze
non hanno alcun punto reale in comune (mentre
hanno sempre in comune i due punti ciclici [immaginari]
del piano di appartenenza:ma questo e' argomento
superiore)
b)Parabolico se hanno un sol punto reale
in comune.
c)Iperbolico se s'intersecano in due punti
reali distinti.
Ciao.
un medesimo piano,formano sempre un fascio.
Esso e' detto:
a)Ellittico se le due circonferenze
non hanno alcun punto reale in comune (mentre
hanno sempre in comune i due punti ciclici [immaginari]
del piano di appartenenza:ma questo e' argomento
superiore)
b)Parabolico se hanno un sol punto reale
in comune.
c)Iperbolico se s'intersecano in due punti
reali distinti.
Ciao.
Allora, visto che ci siamo, possiamo anche precisare che due circonferenze hanno sempre due punti in comune le cui coordinate possono esserere reali e distinte, reali e coincidenti, o complesse....
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