"Falso" limite.

[iteuler]

Rispolvero un vecchio problema, trovare il valore di

lim 2n*sin(pi/n)
n->+inf

Questo limite è banalissimo se si conoscono i limiti notevoli (tuttavia anche in questi termini il problema è molto semplice), ma siamo a ottobre quindi penso che i liceali non abbiano ancora affrontato i limiti notevoli, voglio che lo calcoliate per via prettamente geometrica.

[hydro1]

quindi non vuoi sentire che per n-->+inf, sin(pi/n) ~ pi/n, eh?

[iteuler]

Hai colto nel segno.

[Sk_Anonymous]

Beh, si puo' considerare come il limite del perimetro di
un n-gono regolare inscritto nella crf. di raggio unitario
quando il numero dei lati cresce all'infinito.
Come tale esso e' la lunghezza della crf. ovvero 2*pi.
Ciao.

[iteuler]

Esatto, ma rilancio, dimostrare che

[Sana2]

Oddio io non lo so fare...
stavo mettendo quasi che, visto che pensavo sin pi/n potesse essere minore o uguale a 1, visto che il sin non va mai più in là...

2n * sin pi/n =< (1+2n^2)/n

poi risolvevo ma...
ma nn funziona...

no non son capace a fare questo O.o

-Sana-

[Sk_Anonymous]

@iteuler
Ma e' sicuro che nell'espressione non ci siano altri segni "-"
dopo quello che si vede scritto?
In altre parole i "-" si alternano o sono uno solo?.
ciao.

[iteuler]

No no, il meno è solo quello.

[MaMo2]

L'espressione sotto radice corrisponde al lato del poligono regolare di 2^(n + 1) lati inscritto in una circonferenza di raggio 1. Il suo perimetro è perciò:
P = 2^(n + 1)*sqrt(2 - sqrt(2 + sqrt(2 + .....+ sqrt(2))))
Per n che tende ad infinito si ha P = 2*pi per cui l'espressione data, essendo uguale al semiperimetro del poligono, tende a pi.

[iteuler]

Corretto, occupatevi dello spazzaneve ora